Calcule as integrais a seguir:
c) $\int \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{3} x d x$ ;

O enunciado pede para calcular a integral

\int \operatorname{sen}^{2}x \,\cos^{3}x\,dx.

Isso envolve potências de seno e cosseno. Uma estratégia comum é separar um fator de

\cos x\,dx

para usar a substituição

u=\operatorname{sen} x

, já que

du=\cos x\,dx

Escrevemos

\operatorname{sen}^{2}x\,\cos^{3}x =\operatorname{sen}^{2}x\,\cos^{2}x\;\cos x =\operatorname{sen}^{2}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)\;\cos x,

pois

\cos^{2}x=1-\operatorname{sen}^{2}x

. Assim a integral fica

\int \operatorname{sen}^{2}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\cos x\,dx.

Fazemos a substituição

u=\operatorname{sen} x, \quad du=\cos x\,dx.

Então

\int \operatorname{sen}^{2}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\cos x\,dx =\int u^{2}(1-u^{2})\,du =\int\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du.

Integramos termo a termo:

\int\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du =\int u^{2}\,du-\int u^{4}\,du =\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}+C.

Voltando à variável original

x

, temos

u=\operatorname{sen} x

. Logo

\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}+C =\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}-\frac{\operatorname{sen}^{5}x}{5}+C.

\int \operatorname{sen}^{2}x\,\cos^{3}x\,dx =\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}-\frac{\operatorname{sen}^{5}x}{5}+C.

Calcule as integrais a seguir: c) \int \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{3} x d x;