Calcule as integrais a seguir:
e) $\int \operatorname{sen}^{5 / 2} x \cos ^{3} x d x$ ;

O enunciado pede para calcular a integral

\int \sin^{5/2}x \,\cos^3x \,dx

O conteúdo aqui é integração de potências de sen e cos usando substituição trigonométrica: vamos escrever

\cos^3x

como

\cos^2x\cdot\cos x

e usar

u=\sin x

Escrevemos

\cos^3x = \cos^2x\;\cos x = (1-\sin^2x)\,\cos x

e a integral fica

\int \sin^{5/2}x\,(1-\sin^2x)\,\cos x\,dx.

Fazemos a substituição

u = \sin x, \qquad du = \cos x\,dx.

Então a integral em

x

passa a ser em

u

\int u^{5/2}\,(1-u^2)\,du.

Expandindo o integrando:

u^{5/2}(1-u^2) = u^{5/2} - u^{9/2}.

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\int u^{5/2} - u^{9/2}\,du = \int u^{5/2}\,du \;-\;\int u^{9/2}\,du.

Calculando cada termo:

\int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}\,u^{7/2},

\int u^{9/2}\,du = \frac{u^{11/2}}{11/2} = \frac{2}{11}\,u^{11/2}.

Voltando a

x

com

u=\sin x

, obtemos

\int \sin^{5/2}x\,\cos^3x\,dx = \frac{2}{7}\,\sin^{7/2}x \;-\;\frac{2}{11}\,\sin^{11/2}x + C.

\frac{2}{7}\,\sin^{7/2}x \;-\;\frac{2}{11}\,\sin^{11/2}x + C

Calcule as integrais a seguir: e) \int \operatorname{sen}^{5 / 2} x \cos ^{3} x d x;