Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
O que se pede: achar o valor numérico da integral definida entre
e
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma direta e com exemplos):
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente,
onde
é constante. Exemplo rápido:
- Regra da potência (antiderivada): para
,
onde
é constante de integração (não necessária na integral definida). Exemplo:
.
- Teorema Fundamental do Cálculo (parte prática): se
é uma antiderivada de (ou seja, ), então a integral definida de de até é
Vamos usar isso para avaliar a integral após obter a antiderivada.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao integrando, escrevemos a integral como soma de três integrais mais simples:
Passo 4
Calcular as antiderivadas termo a termo usando a regra da potência e a propriedade de constante:
- Para
: aqui , logo pela regra da potência
- Para
: retirar a constante e usar ,
- Para
: retirar a constante e aplicar a regra da potência com ,
Observe o sinal: no integrando original temos
, portanto a antiderivada desse termo será
.
Assim uma antiderivada
do integrando completo é
(Posso checar derivando:
, que é o integrando — perfeito.)
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
onde
.
Passo 6
Avaliar
nos limites com contas detalhadas:
- Para
:
Calcule passo a passo:
- Para
:
Passo 7
Subtrair os valores:
Interpretação curta (só pra incentivar): o valor negativo significa que, no agregado entre
e
, a parte negativa do integrando (dominada por
para
maiores) vence a parte positiva — por isso o resultado dá
. Você mandou bem chegando até aqui!