Calcule as integrais a seguir
int_{1}^{3}\left(1+2 x-4 x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\left(1+2x-4x^{3}\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando } 1+2x-4x^{3},\quad \text{limites de integração } a=1,\; b=3.çã
O que se pede: achar o valor numérico da integral definida entre \,1 e \,3.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma direta e com exemplos):
  1. Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente,
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx,
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é constante. Exemplo rápido: \int (3x^2+5)\,dx = \int 3x^2\,dx + \int 5\,dx = 3\int x^2\,dx + 5\int 1\,dx.
  1. Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração (não necessária na integral definida). Exemplo: \int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}+C.
  1. Teorema Fundamental do Cálculo (parte prática): se F(x) é uma antiderivada de f(x) (ou seja, F'(x)=f(x)), então a integral definida de f de a até b é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Vamos usar isso para avaliar a integral após obter a antiderivada.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao integrando, escrevemos a integral como soma de três integrais mais simples:
\int_{1}^{3}\left(1+2x-4x^{3}\right)\,dx = \int_{1}^{3}1\,dx \;+\; \int_{1}^{3}2x\,dx \;-\; \int_{1}^{3}4x^{3}\,dx.

Passo 4

Calcular as antiderivadas termo a termo usando a regra da potência e a propriedade de constante:
  1. Para \int 1\,dx: aqui 1=x^{0}, logo pela regra da potência
\int 1\,dx = \int x^{0}\,dx = \frac{x^{1}}{1} = x.
  1. Para \int 2x\,dx: retirar a constante 2 e usar \int x\,dx = x^{2}/2,
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
  1. Para \int 4x^{3}\,dx: retirar a constante 4 e aplicar a regra da potência com n=3,
\int 4x^{3}\,dx = 4\int x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.
Observe o sinal: no integrando original temos -4x^{3}, portanto a antiderivada desse termo será -x^{4}.
Assim uma antiderivada F(x) do integrando completo é
F(x)=x + x^{2} - x^{4}.
(Posso checar derivando: F'(x)=1 + 2x - 4x^{3}, que é o integrando — perfeito.)

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{1}^{3}\left(1+2x-4x^{3}\right)\,dx = F(3) - F(1),
onde F(x)=x+x^{2}-x^{4}.

Passo 6

Avaliar F nos limites com contas detalhadas:
  1. Para x=3:
F(3)=3 + 3^{2} - 3^{4}.
Calcule passo a passo:
3^{2}=9,\quad 3^{4}=81,
F(3)=3 + 9 - 81 = 12 - 81 = -69.
  1. Para x=1:
F(1)=1 + 1^{2} - 1^{4} = 1 + 1 - 1 = 1.

Passo 7

Subtrair os valores:
\int_{1}^{3}\left(1+2x-4x^{3}\right)\,dx = F(3)-F(1) = (-69) - 1 = -70.
Interpretação curta (só pra incentivar): o valor negativo significa que, no agregado entre 1 e 3, a parte negativa do integrando (dominada por -4x^{3} para x maiores) vence a parte positiva — por isso o resultado dá -70. Você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

-70

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