Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é
e os limites de integração são
e
. A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando (por que isso ajuda): temos um fator
multiplicando uma função de
, ou seja, algo como
. Isso é um padrão clássico que sugere a substituição
, porque a derivada de
é
e aparece um
no integrando — assim conseguimos transformar a integral para uma forma simples envolvendo
. Vou usar essa substituição porque é direta e reduz a integral a uma exponencial elementar.
Passo 3
Faço a substituição
.
Calculo o diferencial: derivando ambos os lados, , então
.
Também troco os limites de integração: quando temos
; quando
temos
.
Calculo o diferencial: derivando ambos os lados,
Também troco os limites de integração: quando
Passo 4
Substituindo na integral original, obtemos
Como
é constante, posso retirá‑la:
Passo 5
Agora precisamos integrar
. Lembrete rápido: a integral de uma exponencial
é
(desde que
). No nosso caso
, então
Portanto, para a integral definida,
Passo 6
Avalio o termo entre colchetes:
Lembrando que
, isso fica
.
Passo 7
Voltando ao fator
que estava fora da integral, obtemos
Passo 8
Breve verificação alternativa (opcional, serve para ganhar confiança): note que
. Assim
e a integral torna‑se
, que dá o mesmo resultado
.