Calcule as integrais a seguir
int_{0}^{1} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,d x.
Informações dadas: o integrando é x e^{-x^{2}} e os limites de integração são x=0 e x=1. A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando (por que isso ajuda): temos um fator x multiplicando uma função de x^{2}, ou seja, algo como x\cdot f(x^{2}). Isso é um padrão clássico que sugere a substituição u = x^{2}, porque a derivada de x^{2} é 2x e aparece um x no integrando — assim conseguimos transformar a integral para uma forma simples envolvendo e^{-u}. Vou usar essa substituição porque é direta e reduz a integral a uma exponencial elementar.

Passo 3

Faço a substituição \,u = x^{2}.
Calculo o diferencial: derivando ambos os lados, \,du = 2x\,dx, então \,x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du.
Também troco os limites de integração: quando x=0 temos u=0^{2}=0; quando x=1 temos u=1^{2}=1.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{-u}\left(\dfrac{1}{2}\,du\right).
Como \dfrac{1}{2} é constante, posso retirá‑la:
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du.

Passo 5

Agora precisamos integrar \int e^{-u}\,du. Lembrete rápido: a integral de uma exponencial \int e^{au}\,du é \dfrac{1}{a}e^{au} (desde que a\neq0). No nosso caso a=-1, então
\int e^{-u}\,du = -e^{-u} + C.
Portanto, para a integral definida,
\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1}.

Passo 6

Avalio o termo entre colchetes:
\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = -e^{-1} - \bigl(-e^{0}\bigr) = -e^{-1} + e^{0}.
Lembrando que e^{0}=1, isso fica 1 - e^{-1}.

Passo 7

Voltando ao fator \dfrac{1}{2} que estava fora da integral, obtemos
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \dfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Passo 8

Breve verificação alternativa (opcional, serve para ganhar confiança): note que \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr) = -2x e^{-x^{2}}. Assim x e^{-x^{2}} = -\tfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr) e a integral torna‑se -\tfrac{1}{2}\bigl[e^{-x^{2}}\bigr]_{0}^{1}, que dá o mesmo resultado \tfrac{1}{2}(1-e^{-1}).

Resposta

\dfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr)

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