Calcule as integrais a seguir:
(a) \int_{0}^{1}\left(16 t^{3} \vec{i}+9 t^{2} \vec{j}-\cos t \vec{k}\right) d t;
(b) \int_{0}^{1}\left(\frac{4}{1+t^{2}} \vec{j}+\frac{2 t}{1+t^{2}} \vec{k}\right) d t;
(c) \int_{1}^{2}\left(t^{2}\right) \vec{i}+t \sqrt{t-1} \vec{j}+t \sin \pi \vec{k} d t.
Passo 1
O enunciado pede para calcular integrais de funções vetoriais no intervalo dado. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, que se faz componente a componente usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Para a parte (a) temos \displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(16t^{3}\,\vec i+9t^{2}\,\vec j-\cos t\,\vec k\bigr)\,dt.
Integramos cada componente:
Para a parte (b) calculamos \displaystyle\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{4}{1+t^{2}}\,\vec j+\frac{2t}{1+t^{2}}\,\vec k\Bigr)\,dt.
Componente em \vec i é zero. Em \vec j: