1. Calcule as integrais a seguir:
    (a) \int_{0}^{1}\left(16 t^{3} \vec{i}+9 t^{2} \vec{j}-\cos t \vec{k}\right) d t;
    (b) \int_{0}^{1}\left(\frac{4}{1+t^{2}} \vec{j}+\frac{2 t}{1+t^{2}} \vec{k}\right) d t;
    (c) \int_{1}^{2}\left(t^{2}\right) \vec{i}+t \sqrt{t-1} \vec{j}+t \sin \pi \vec{k} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais de funções vetoriais no intervalo dado. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, que se faz componente a componente usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para a parte (a) temos
\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(16t^{3}\,\vec i+9t^{2}\,\vec j-\cos t\,\vec k\bigr)\,dt.
Integramos cada componente:
\int_{0}^{1}16t^{3}\,dt =16\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =4,
\int_{0}^{1}9t^{2}\,dt =9\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} =3,
\int_{0}^{1}(-\cos t)\,dt =-\sin t\Big|_{0}^{1} =-\sin(1)-\bigl(-\sin(0)\bigr) =-\sin(1).
Logo o vetor resultante é
4\,\vec i +3\,\vec j -\sin(1)\,\vec k.

Passo 3

Para a parte (b) calculamos
\displaystyle\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{4}{1+t^{2}}\,\vec j+\frac{2t}{1+t^{2}}\,\vec k\Bigr)\,dt.
Componente em \vec i é zero. Em \vec j:
\int_{0}^{1}\frac{4}{1+t^{2}}\,dt =4\arctan t\Big|_{0}^{1} =4\cdot\frac{\pi}{4} =\pi,
em \vec k:
\int_{0}^{1}\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt =\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)\Big|_{0}^{1} =\ln2.
Logo o vetor é
0\,\vec i+\pi\,\vec j+\ln(2)\,\vec k.

Passo 4

Para a parte (c) temos
\displaystyle\int_{1}^{2}\bigl(t^{2}\,\vec i+t\sqrt{t-1}\,\vec j+t\sin\pi\,\vec k\bigr)\,dt.
Em \vec i:
\int_{1}^{2}t^{2}\,dt =\frac{t^{3}}{3}\Big|_{1}^{2} =\frac{8-1}{3} =\frac{7}{3}.
Em \vec j, faça u=t-1, então t=u+1, du=dt, limites u(1)=0, u(2)=1:
\int_{1}^{2}t\sqrt{t-1}\,dt =\int_{0}^{1}(u+1)\sqrt{u}\,du =\int_{0}^{1}\bigl(u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)du =\frac{2}{5}u^{5/2}\Big|_{0}^{1}+\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{5}+\frac{2}{3} =\frac{16}{15}.
Em \vec k, note que \sin\pi=0, logo a integral é zero.
Assim o vetor é
\frac{7}{3}\,\vec i+\frac{16}{15}\,\vec j+0\,\vec k.

Resposta

(a) 4\,\vec i+3\,\vec j-\sin(1)\,\vec k
(b) 0\,\vec i+\pi\,\vec j+\ln(2)\,\vec k
(c) \tfrac{7}{3}\,\vec i+\tfrac{16}{15}\,\vec j+0\,\vec k

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