Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
Pergunta única: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
. Informações dadas: a integranda é um produto de
por uma função composta
. Não há mais dados externos.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando aparece uma raiz (ou potência) de uma expressão do tipo
e junto disso há um fator
, isso sugere usar substituição para transformar a parte composta em uma nova variável
. Substituição é uma técnica que faz a integral ficar em termos de
, mais simples de integrar.
Explicação didática da substituição:
- Se fizermos
, então . - A integral em
pode virar uma integral em se conseguirmos expressar na forma . - O objetivo é escolher
de modo que a potência/raiz vire simplesmente e o restante se ajuste a .
Passo 3
Escolha da substituição e motivo: pegar a parte interna da raiz como
. Ou seja, defina
Motivo: então
, simplificando a parte composta.
Passo 4
Calcular
a partir de
. Derivando em relação a
,
Isso significa que
Queremos relacionar
com
. Observe que
Portanto
é exatamente
.
Passo 5
Reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Integrar
usando a regra de potência para integrais:
Regra: para ,
Regra: para
Aqui
, logo
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 7
Voltar à variável
(retro-substituição): lembrando que
,
Esse é o candidato a antiderivada.
Passo 8
Verificação rápida (importante para prova): derivar para confirmar. Usando a regra da cadeia para
,
Calcule os fatores:
. Logo
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.
Passo 9
Observação final e dica para a prova: sempre procure na integranda se existe uma parte que é derivada (ou múltiplo) da outra parte. Quando isso ocorre e há uma potência/raiz, a substituição
(parte interna) costuma resolver rapidamente. Pratique reconhecer fatores constantes (como o
que virou
) para acelerar no exame.