Calcule as integrais a seguir:
\int 3 x^{5} \cdot \sqrt{1+2 x^{6}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
\int 3 x^{5} \cdot \sqrt{1+2 x^{6}}\,dx.
Pergunta única: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(x)=3x^{5}\sqrt{1+2x^{6}}. Informações dadas: a integranda é um produto de 3x^{5} por uma função composta \sqrt{1+2x^{6}}. Não há mais dados externos.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando aparece uma raiz (ou potência) de uma expressão do tipo 1+2x^{6} e junto disso há um fator x^{5}, isso sugere usar substituição para transformar a parte composta em uma nova variável u. Substituição é uma técnica que faz a integral ficar em termos de u, mais simples de integrar.
Explicação didática da substituição:
  • Se fizermos \,u=g(x)\,, então du = g'(x)\,dx.
  • A integral em x pode virar uma integral em u se conseguirmos expressar g'(x)\,dx na forma du.
  • O objetivo é escolher g(x) de modo que a potência/raiz vire simplesmente u^{\text{algo}} e o restante se ajuste a du.

Passo 3

Escolha da substituição e motivo: pegar a parte interna da raiz como u. Ou seja, defina
u = 1 + 2x^{6}.
Motivo: então \sqrt{1+2x^{6}}=\sqrt{u}=u^{1/2}, simplificando a parte composta.

Passo 4

Calcular du a partir de u = 1+2x^{6}. Derivando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 12x^{5}.
Isso significa que
du = 12x^{5}\,dx.
Queremos relacionar 3x^{5}\,dx com du. Observe que
3x^{5}\,dx = \frac{1}{4}\cdot 12x^{5}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Portanto 3x^{5}\,dx é exatamente \dfrac{1}{4}du.

Passo 5

Reescrever a integral em termos de u. Substituindo \sqrt{1+2x^{6}}=u^{1/2} e 3x^{5}\,dx=\dfrac{1}{4}du, obtemos
\int 3 x^{5} \cdot \sqrt{1+2 x^{6}}\,dx = \int u^{1/2}\cdot \frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 6

Integrar \int u^{1/2}\,du usando a regra de potência para integrais:
Regra: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, logo
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que estava fora:
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{6}u^{3/2}+C.

Passo 7

Voltar à variável x (retro-substituição): lembrando que u=1+2x^{6},
\frac{1}{6}u^{3/2}+C = \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{6}\bigr)^{3/2}+C.
Esse é o candidato a antiderivada.

Passo 8

Verificação rápida (importante para prova): derivar para confirmar. Usando a regra da cadeia para F(x)=\dfrac{1}{6}(1+2x^{6})^{3/2},
F'(x)=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}(1+2x^{6})^{1/2}\cdot(12x^{5}).
Calcule os fatores: \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 12 = \dfrac{1\cdot 3\cdot 12}{6\cdot 2} = \dfrac{36}{12}=3. Logo
F'(x)=3x^{5}(1+2x^{6})^{1/2},
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.

Passo 9

Observação final e dica para a prova: sempre procure na integranda se existe uma parte que é derivada (ou múltiplo) da outra parte. Quando isso ocorre e há uma potência/raiz, a substituição u= (parte interna) costuma resolver rapidamente. Pratique reconhecer fatores constantes (como o 3x^{5} que virou \tfrac{1}{4}du) para acelerar no exame.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{6}\bigr)^{3/2}+C

Exercícios relacionados