Encontre e verifique as soluções das equações abaixo:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=t^{3}+5 t+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede para encontrar e verificar suas soluções. Informações fornecidas:
  • A equação é y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=t^{3}+5t+1.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(t) (todas as soluções) e verificar que ela realmente satisfaz a equação.

Passo 2

Vamos separar o problema em duas partes: encontrar a solução geral da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular da equação completa. A solução geral da equação completa será a soma da solução homogênea com uma solução particular.
Primeiro, escrevo a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0.

Passo 3

Para resolver a homogênea, uso o método do polinômio característico (uma forma direta para equações lineares com coeficientes constantes). Substituo y=e^{rt} e obtenho a equação característica:
r^{2}+2r=0.
Resolvendo:
r(r+2)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=-2.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim:
y_h(t)=C_{1}\cdot e^{0\cdot t}+C_{2}\cdot e^{-2t}=C_{1}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora vamos buscar uma solução particular y_p(t) da equação não-homogênea
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=t^{3}+5t+1.
Repare que o termo do lado direito é um polinômio em t de grau 3. O método de coeficientes a determinar sugere tentar um polinômio de mesmo grau como tentativa:
y_p^{(tentativa)}=at^{3}+bt^{2}+ct+d.
No entanto, se alguma parte dessa tentativa pertence ao espaço das soluções da homogênea, é preciso multiplicar por t um número de vezes igual à multiplicidade da raiz associada. Aqui a homogênea contém a constante C_{1}, isto é, a função constante (polinômio de grau 0) é solução da homogênea porque a raiz r=0 aparece. Como o lado direito contém um termo constante, a tentativa inicial teria sobreposição com a homogênea. Logo devemos multiplicar a tentativa por t. Portanto escolhemos:
y_p(t)=t\cdot\big(A t^{3}+B t^{2}+C t+D\big)=A t^{4}+B t^{3}+C t^{2}+D t,
com coeficientes A,B,C,D a determinar.

Passo 6

Calculo as derivadas de y_p:
y_p(t)=A t^{4}+B t^{3}+C t^{2}+D t,
y_p^{\prime}(t)=4A t^{3}+3B t^{2}+2C t+D,
y_p^{\prime\prime}(t)=12A t^{2}+6B t+2C.

Passo 7

Substituo y_p, y_p' e y_p'' na equação y^{\prime\prime}+2y^{\prime} e igualo ao lado direito:
y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}=(12A t^{2}+6B t+2C)+2(4A t^{3}+3B t^{2}+2C t+D).
Faço a multiplicação e agrupo termos por potências de t:
y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}=8A t^{3}+(12A+6B)t^{2}+(6B+4C)t+(2C+2D).

Passo 8

Devemos ter
y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}=t^{3}+0\cdot t^{2}+5t+1.
Comparando coeficientes (igualando os coeficientes de cada potência de t), obtemos o sistema linear para A,B,C,D:
\begin{cases} 8A=1,\\[4pt] 12A+6B=0,\\[4pt] 6B+4C=5,\\[4pt] 2C+2D=1. \end{cases}]

Passo 9

Resolvo passo a passo o sistema:
  • Da primeira equação: 8A=1 então
A=\tfrac{1}{8}.
  • Substituindo A na segunda equação 12A+6B=0:
6B=-12A=-12\cdot\tfrac{1}{8}=-\tfrac{12}{8}=-\tfrac{3}{2},
logo
B=-\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{4}.
(ou diretamente B=-2A=-2\cdot\tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{4}.)

Passo 10

Continuando, uso B=-\tfrac{1}{4} na terceira equação 6B+4C=5:
6\big(-\tfrac{1}{4}\big)+4C=5 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{6}{4}+4C=5.
Simplificando -\tfrac{6}{4}=-\tfrac{3}{2}:
4C=5+\tfrac{3}{2}=\tfrac{10}{2}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{13}{2},
portanto
C=\tfrac{13}{8}.

Passo 11

Por fim, uso C=\tfrac{13}{8} na quarta equação 2C+2D=1:
2\cdot\tfrac{13}{8}+2D=1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{13}{4}+2D=1.
Subtraindo \tfrac{13}{4}:
2D=1-\tfrac{13}{4}=\tfrac{4}{4}-\tfrac{13}{4}=-\tfrac{9}{4},
logo
D=-\tfrac{9}{8}.

Passo 12

Assim os coeficientes encontrados são
A=\tfrac{1}{8},\quad B=-\tfrac{1}{4},\quad C=\tfrac{13}{8},\quad D=-\tfrac{9}{8}.
Logo a solução particular é
y_p(t)=\tfrac{1}{8}t^{4}-\tfrac{1}{4}t^{3}+\tfrac{13}{8}t^{2}-\tfrac{9}{8}t.

Passo 13

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t}+\tfrac{1}{8}t^{4}-\tfrac{1}{4}t^{3}+\tfrac{13}{8}t^{2}-\tfrac{9}{8}t.

Passo 14

Verificação rápida:
  • Para y_h(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t} tem-se y_h^{\prime}= -2C_{2}e^{-2t} e y_h^{\prime\prime}=4C_{2}e^{-2t}. Então
y_h^{\prime\prime}+2y_h^{\prime}=4C_{2}e^{-2t}+2(-2C_{2}e^{-2t})=0,
ou seja, a homogênea realmente satisfaz a parte homogênea da equação.
  • Para y_p(t) já montámos o sistema de coeficientes justamente para garantir
y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}=t^{3}+5t+1.
Substituindo os valores de A,B,C,D no polinômio obtido no Passo 7 confirma-se a igualdade termo a termo com t^{3}+5t+1. Portanto y_p é uma solução particular. Como soma de solução homogênea com particular dá a solução geral, a expressão do Passo 13 está verificada.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t}+\dfrac{1}{8}t^{4}-\dfrac{1}{4}t^{3}+\dfrac{13}{8}t^{2}-\dfrac{9}{8}t

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