Encontre e verifique as soluções das equações abaixo: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=t^{3}+5 t+1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede para encontrar e verificar suas soluções. Informações fornecidas:
A equação é y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=t^{3}+5t+1.
Objetivo: encontrar a solução geral y(t) (todas as soluções) e verificar que ela realmente satisfaz a equação.
Passo 2
Vamos separar o problema em duas partes: encontrar a solução geral da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular da equação completa. A solução geral da equação completa será a soma da solução homogênea com uma solução particular.
Primeiro, escrevo a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0.
Passo 3
Para resolver a homogênea, uso o método do polinômio característico (uma forma direta para equações lineares com coeficientes constantes). Substituo y=e^{rt} e obtenho a equação característica:
r^{2}+2r=0.
Resolvendo:
r(r+2)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=-2.
Passo 4
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim:
Agora vamos buscar uma solução particular y_p(t) da equação não-homogênea
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=t^{3}+5t+1.
Repare que o termo do lado direito é um polinômio em t de grau 3. O método de coeficientes a determinar sugere tentar um polinômio de mesmo grau como tentativa:
y_p^{(tentativa)}=at^{3}+bt^{2}+ct+d.
No entanto, se alguma parte dessa tentativa pertence ao espaço das soluções da homogênea, é preciso multiplicar por t um número de vezes igual à multiplicidade da raiz associada. Aqui a homogênea contém a constante C_{1}, isto é, a função constante (polinômio de grau 0) é solução da homogênea porque a raiz r=0 aparece. Como o lado direito contém um termo constante, a tentativa inicial teria sobreposição com a homogênea. Logo devemos multiplicar a tentativa por t. Portanto escolhemos:
ou seja, a homogênea realmente satisfaz a parte homogênea da equação.
Para y_p(t) já montámos o sistema de coeficientes justamente para garantir
y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}=t^{3}+5t+1.
Substituindo os valores de A,B,C,D no polinômio obtido no Passo 7 confirma-se a igualdade termo a termo com t^{3}+5t+1. Portanto y_p é uma solução particular. Como soma de solução homogênea com particular dá a solução geral, a expressão do Passo 13 está verificada.