Calcule as integrais a seguir:
\int\left(x^{3}+2 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{3}+2 x+3\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{3}+2x+3.
  • Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{3}+2x+3.
  • Como é uma integral indefinida, a resposta deve conter a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Propriedade útil: linearidade da integral. Ela diz que a integral de soma é soma das integrais e que constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot\int f(x)\,dx,
onde a é uma constante. Isso nos permite separar a integral original termo a termo:
\int\left(x^{3}+2x+3\right)\,dx = \int x^{3}\,dx + \int 2x\,dx + \int 3\,dx.
Explicando devagar: em cada integral podemos tratar cada soma como uma integral independente e puxar constantes para fora (por exemplo o 2 na segunda integral).

Passo 3

Regra básica que vamos usar: a regra da potência para antiderivadas. Para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
O motivo é que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, pela regra do poder obtemos exatamente x^{n}. Aqui n é o expoente da potência e C é a constante de integração. Exemplificando: se n=3, então \int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}+C; se n=1, então \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}+C.
Também usamos que a integral de uma constante k é k vezes x:
\int k\,dx = kx + C.

Passo 4

Agora aplicamos as regras termo a termo.
  1. Para o termo \int x^{3}\,dx usamos a regra da potência com n=3:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^{4}}{4}.
  1. Para o termo \int 2x\,dx puxamos a constante 2 para fora e aplicamos a regra da potência com n=1:
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
(Observe que 2\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=x^{2}.)
  1. Para o termo \int 3\,dx usamos a regra da integral de constante:
\int 3\,dx = 3x.

Passo 5

Somando as três primitivas obtidas e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{x^{4}}{4} + x^{2} + 3x + C.
Vamos checar rapidamente: derivando F(x) devemos recuperar x^{3}+2x+3.
Derivada termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=2x,\qquad \frac{d}{dx}\left(3x\right)=3,\qquad \frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Somando: x^{3}+2x+3. Está certinho — nossa primitiva é correta.

Passo 6

Resumo prático para a prova (vale decorar a ideia): se tiver uma soma de potências e constantes, separe termo a termo, aplique \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} e lembre-se da constante C. Isso resolve a maioria das integrais do tipo polinomial sem precisar de calculadora.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4} + x^{2} + 3x + C

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