Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Como é uma integral indefinida, a resposta deve conter a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Propriedade útil: linearidade da integral. Ela diz que a integral de soma é soma das integrais e que constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
é uma constante. Isso nos permite separar a integral original termo a termo:
Explicando devagar: em cada integral podemos tratar cada soma como uma integral independente e puxar constantes para fora (por exemplo o
na segunda integral).
Passo 3
Regra básica que vamos usar: a regra da potência para antiderivadas. Para qualquer número real
,
O motivo é que, ao derivar
, pela regra do poder obtemos exatamente
. Aqui
é o expoente da potência e
é a constante de integração. Exemplificando: se
, então
; se
, então
.
Também usamos que a integral de uma constante
é
vezes
:
Passo 4
Agora aplicamos as regras termo a termo.
- Para o termo
usamos a regra da potência com :
- Para o termo
puxamos a constante para fora e aplicamos a regra da potência com :
(Observe que
.)
- Para o termo
usamos a regra da integral de constante:
Passo 5
Somando as três primitivas obtidas e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Vamos checar rapidamente: derivando
devemos recuperar
.
Derivada termo a termo:
Derivada termo a termo:
Somando:
. Está certinho — nossa primitiva é correta.
Passo 6
Resumo prático para a prova (vale decorar a ideia): se tiver uma soma de potências e constantes, separe termo a termo, aplique
e lembre-se da constante
. Isso resolve a maioria das integrais do tipo polinomial sem precisar de calculadora.