Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.\n
Informações dadas: a função a integrar é .\n
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão tal que
, e incluir a constante de integração
.
Informações dadas: a função a integrar é
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
Passo 2
Observação importante sobre integrais: a integral é linear. Isso significa que podemos separar a soma dentro da integral em soma de integrais:
Linearidade facilita muito: integramos cada termo separadamente.
Passo 3
Para aplicar a regra de potência com facilidade, reescrevemos a segunda parcela usando expoente:
Então trabalharemos com
Passo 4
Regra básica (regra da potência para integrais): para todo
,
Aqui
é o expoente e
é a constante de integração. Essa fórmula vem da regra inversa da derivação: a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicamos a regra de potência termo a termo.
Para o primeiro termo,
. Tomando
:
Para o segundo termo,
. Tomando
:
Agora simplificamos
. Lembrando que
, temos
Passo 6
Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Se quiser, dá para escrever de forma combinada, mas essa forma já é clara e normalmente usada na prova.
Passo 7
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta devemos voltar ao integrando.
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Somando dá , que é o integrando original. Então está correto.
Derivada de
Derivada de
Somando dá