Calcule as integrais a seguir:
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx.\n
Informações dadas: a função a integrar é x+\frac{1}{x^{3}}.\n
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x+\frac{1}{x^{3}}, e incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação importante sobre integrais: a integral é linear. Isso significa que podemos separar a soma dentro da integral em soma de integrais:
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx = \int x\,dx + \int \frac{1}{x^{3}}\,dx.
Linearidade facilita muito: integramos cada termo separadamente.

Passo 3

Para aplicar a regra de potência com facilidade, reescrevemos a segunda parcela usando expoente:
\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}.
Então trabalharemos com
\int x\,dx + \int x^{-3}\,dx.

Passo 4

Regra básica (regra da potência para integrais): para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente e C é a constante de integração. Essa fórmula vem da regra inversa da derivação: a derivada de \frac{x^{n+1}}{n+1} é x^{n}.

Passo 5

Aplicamos a regra de potência termo a termo.
Para o primeiro termo, x = x^{1}. Tomando n=1:
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Para o segundo termo, x^{-3}. Tomando n=-3:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2}.
Agora simplificamos \frac{x^{-2}}{-2}. Lembrando que x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}, temos
\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} = -\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 6

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}} + C.
Se quiser, dá para escrever de forma combinada, mas essa forma já é clara e normalmente usada na prova.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta devemos voltar ao integrando.
Derivada de \frac{x^{2}}{2} é x.
Derivada de -\frac{1}{2x^{2}} é -\frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3} = x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}.
Somando dá x+\frac{1}{x^{3}}, que é o integrando original. Então está correto.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{1}{2x^{2}}+C

Exercícios relacionados