Calcule as integrais a seguir:
\int\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{2}+1}{x}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (procura-se uma primitiva), então devemos incluir a constante de integração C.
  • Implicação importante: como aparece \dfrac{1}{x}, sabemos que x\neq 0 no domínio da primitiva.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão dentro da integral dividindo termos por x. Isso é só álgebra:
\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Aqui usei a propriedade distributiva da divisão sobre adição: \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}.

Passo 3

Usar a linearidade da integral: a integral de soma é a soma das integrais. Assim
\int\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int x\,dx+\int\frac{1}{x}\,dx.
A propriedade que usei é: \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx.

Passo 4

Calcular \int x\,dx usando a regra da potência (power rule). A regra diz:
\text{Se }n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos x=x^{1}, então n=1. Aplicando:
\int x\,dx=\int x^{1}\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
Expliquei: a fórmula aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente.

Passo 5

Calcular \int \dfrac{1}{x}\,dx. O caso n=-1 não é coberto pela regra da potência, porque daria divisão por zero. Em vez disso usamos a primitiva conhecida:
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Motivo rápido: a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq 0, então \ln|x| é uma primitiva de 1/x. O valor absoluto aparece porque a primitiva deve funcionar tanto para x>0 quanto para x<0.

Passo 6

Somando as primitivas obtidas em

Passo 7

\int\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C.

Passo 8

Verificação (checar é sempre bom na prova): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\ln|x|\right)=x+\frac{1}{x},
o que coincide com o integrando. Assim a primitiva está correta (para x\neq 0).

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C

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