Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Trata-se de uma integral indefinida (procura-se uma primitiva), então devemos incluir a constante de integração
. - Implicação importante: como aparece
, sabemos que no domínio da primitiva.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão dentro da integral dividindo termos por
. Isso é só álgebra:
Aqui usei a propriedade distributiva da divisão sobre adição:
.
Passo 3
Usar a linearidade da integral: a integral de soma é a soma das integrais. Assim
A propriedade que usei é:
.
Passo 4
Calcular
usando a regra da potência (power rule). A regra diz:
Aqui temos
, então
. Aplicando:
Expliquei: a fórmula aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente.
Passo 5
Calcular
. O caso
não é coberto pela regra da potência, porque daria divisão por zero. Em vez disso usamos a primitiva conhecida:
Motivo rápido: a derivada de
é
para
, então
é uma primitiva de
. O valor absoluto aparece porque a primitiva deve funcionar tanto para
quanto para
.
Passo 6
Somando as primitivas obtidas em
Passo 7
Passo 8
Verificação (checar é sempre bom na prova): derivando a resposta encontramos
o que coincide com o integrando. Assim a primitiva está correta (para
).