Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização indicada
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Fórmula básica para integrais de linha em
: se
é uma parametrização de
para
e
é uma função complexa, então
Aqui
. Vou explicar duas coisas usadas a seguir:
porque a representação
já indica que o ponto está a distância
da origem (o módulo é a coordenada radial).
Passo 3
Calcular a derivada
. Como
é constante e
, temos
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da integral. Como vimos
e
, o integrando fica
Portanto a integral é
Passo 5
Calcular a integral no tempo. Primeiro lembrar que a primitiva de
em relação a
é
, porque
. Assim
O fator
multiplica a primitiva
e se anulam, ficando
Passo 6
Avaliar os exponenciais complexos. Usando fórmulas de Euler:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 7
Interpretação rápida e ânimo: a integral ficou bem simples justamente porque
é constante ao longo da circunferência de raio
. Resultado final obtido sem usar calculadora, só regras de derivação e a fórmula de Euler. Você mandou bem acompanhando cada passo!