Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização:
\int_{C}|z| d z ; C=\left\{z(t)=r e^{i t} ;-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \pi e r \neq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} |z|\,dz
onde a curva C é dada pela parametrização indicada
z(t)=r e^{i t},\qquad -\frac{\pi}{2}\le t\le \pi,\qquad r\neq 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i) } z(t)=r e^{it}\text{ é a parametrização da curva,}éçã
\text{(ii) } t\in\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right],
\text{(iii) } r\text{ é uma constante real não nula.}éã

Passo 2

Fórmula básica para integrais de linha em \mathbb{C}: se z(t) é uma parametrização de C para t\in[a,b] e f é uma função complexa, então
\int_{C} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
Aqui f(z)=|z|. Vou explicar duas coisas usadas a seguir:
\text{(a) } |z|\text{ é o módulo de }z,\text{ isto é }|z|=\sqrt{(\Re z)^2+(\Im z)^2}.éóé
\text{(b) } \text{Para }z(t)=r e^{it}\text{ (coordenadas polares), }|z(t)|=r,
porque a representação r e^{it} já indica que o ponto está a distância r da origem (o módulo é a coordenada radial).

Passo 3

Calcular a derivada z'(t). Como r é constante e \frac{d}{dt}e^{it}=i e^{it}, temos
z'(t)=\frac{d}{dt}\big(r e^{it}\big)=r\cdot i e^{it}=i r e^{it}.

Passo 4

Substituir f(z(t)) e z'(t) na fórmula da integral. Como vimos f(z(t))=|z(t)|=r e z'(t)=i r e^{it}, o integrando fica
f(z(t))\,z'(t)=r\cdot (i r e^{it})=i r^{2} e^{it}.
Portanto a integral é
\int_{C}|z|\,dz=\int_{-\pi/2}^{\pi} i r^{2} e^{it}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral no tempo. Primeiro lembrar que a primitiva de e^{it} em relação a t é \dfrac{1}{i}e^{it}, porque \dfrac{d}{dt}\big(\dfrac{1}{i}e^{it}\big)=e^{it}. Assim
\int_{-\pi/2}^{\pi} i r^{2} e^{it}\,dt = i r^{2}\int_{-\pi/2}^{\pi} e^{it}\,dt = i r^{2}\left[\frac{1}{i}e^{it}\right]_{t=-\pi/2}^{t=\pi}.
O fator i multiplica a primitiva \frac{1}{i}e^{it} e se anulam, ficando
= r^{2}\big(e^{i\pi}-e^{-i\pi/2}\big).

Passo 6

Avaliar os exponenciais complexos. Usando fórmulas de Euler:
e^{i\pi}=\cos\pi + i\sin\pi = -1,
e^{-i\pi/2}=\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 - i = -i.
Substituindo na expressão anterior:
r^{2}\big(e^{i\pi}-e^{-i\pi/2}\big)=r^{2}\big((-1)-(-i)\big)=r^{2}(-1+i).

Passo 7

Interpretação rápida e ânimo: a integral ficou bem simples justamente porque |z| é constante ao longo da circunferência de raio r. Resultado final obtido sem usar calculadora, só regras de derivação e a fórmula de Euler. Você mandou bem acompanhando cada passo!

Resposta

r^{2}(-1+i)

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