A rectangular page is to contain 24 square inches of print. The margins at the top and bottom of the page are to be 1.5 inches, and the margins on the lef and right are to be 1 inch. What should the dimensions of the page be so that the least amount of paper is used?
Passo 1
O enunciado pede que a página retangular contenha
polegadas quadradas de texto (área de impressão) e que as margens sejam: topo e inferior de
polegadas cada, e esquerda e direita de
polegada cada. A pergunta é: quais devem ser as dimensões da página (largura e altura) para que a área total de papel usada seja mínima? \n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Área de impressão:
(polegadas quadradas). - Margens laterais:
polegada à esquerda e polegada à direita. - Margens verticales:
polegadas no topo e polegadas embaixo. - Objetivo: minimizar a área total da página sujeita à restrição da área de impressão.
Passo 2
Definimos as variáveis que vamos usar:
- Seja
a largura total da página (em polegadas). - Seja
a altura total da página (em polegadas).
A área útil de impressão (o retângulo central) tem largura
porque subtraímos
polegada de cada lado, e altura
porque subtraímos
polegadas no topo e
embaixo, logo
. A condição de área de impressão fornece a equação de restrição:
Passo 3
Escrevemos a área total da página que queremos minimizar. A área total é
Usamos a restrição para eliminar uma das variáveis; aqui vou resolver para
. Da restrição,
Substituindo em
,
Agora temos
como função de uma variável
e podemos otimizar.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
e procurar pontos críticos. Primeiro é útil recordar (rapidamente) a regra do quociente: se
então
Aqui consideramos a parte
. Apliquei a regra do quociente com
e
. Então
e
. Assim a derivada de
é
A derivada de
é
. Portanto
Passo 5
Achamos o ponto crítico resolvendo
:
Como
(a largura interna
deve ser positiva), tomamos a raiz positiva:
Passo 6
Com
encontramos
pela expressão obtida no Passo 3:
Assim, a solução candidata é
polegadas e
polegadas.
Passo 7
Para garantir que este ponto crítico minimiza a área, verificamos a segunda derivada. A partir de
derivando de novo (regra da potência),
Para
temos
, ou seja,
é convexa e o ponto crítico é um mínimo. Portanto
dá a área mínima.
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: a área de impressão resultante é
, como exigido. As margens estão respeitadas (laterais
+
, topo/rodapé
+
). Tudo consistente.
Resposta
Largura:
polegadas
Altura: polegadas
Altura: