A rectangular page is to contain 24 square inches of print. The margins at the top and bottom of the page are to be 1.5 inches, and the margins on the lef and right are to be 1 inch. What should the dimensions of the page be so that the least amount of paper is used?

Passo 1

O enunciado pede que a página retangular contenha 24 polegadas quadradas de texto (área de impressão) e que as margens sejam: topo e inferior de 1,5 polegadas cada, e esquerda e direita de 1 polegada cada. A pergunta é: quais devem ser as dimensões da página (largura e altura) para que a área total de papel usada seja mínima? \n
Informações relevantes fornecidas:
  • Área de impressão: \,24 (polegadas quadradas).
  • Margens laterais: \,1 polegada à esquerda e \,1 polegada à direita.
  • Margens verticales: \,1,5 polegadas no topo e \,1,5 polegadas embaixo.
  • Objetivo: minimizar a área total da página sujeita à restrição da área de impressão.

Passo 2

Definimos as variáveis que vamos usar:
  • Seja W a largura total da página (em polegadas).
  • Seja H a altura total da página (em polegadas).
A área útil de impressão (o retângulo central) tem largura (W-2) porque subtraímos 1 polegada de cada lado, e altura (H-3) porque subtraímos 1,5 polegadas no topo e 1,5 embaixo, logo 1,5+1,5=3. A condição de área de impressão fornece a equação de restrição:
(W-2)(H-3)=24.

Passo 3

Escrevemos a área total da página que queremos minimizar. A área total é
A = W\cdot H.
Usamos a restrição para eliminar uma das variáveis; aqui vou resolver para H. Da restrição,
H-3=\frac{24}{W-2}\quad\Rightarrow\quad H=\frac{24}{W-2}+3.
Substituindo em A,
A(W)=W\left(\frac{24}{W-2}+3\right)=\frac{24W}{W-2}+3W.
Agora temos A como função de uma variável W e podemos otimizar.

Passo 4

Vamos calcular a derivada A'(W) e procurar pontos críticos. Primeiro é útil recordar (rapidamente) a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui consideramos a parte \dfrac{24W}{W-2}. Apliquei a regra do quociente com u(W)=24W e v(W)=W-2. Então u'(W)=24 e v'(W)=1. Assim a derivada de \dfrac{24W}{W-2} é
\frac{24(W-2)-24W}{(W-2)^2}=\frac{24W-48-24W}{(W-2)^2}=\frac{-48}{(W-2)^2}.
A derivada de 3W é 3. Portanto
A'(W)=-\frac{48}{(W-2)^2}+3.

Passo 5

Achamos o ponto crítico resolvendo A'(W)=0:
-\frac{48}{(W-2)^2}+3=0
\frac{48}{(W-2)^2}=3
(W-2)^2=\frac{48}{3}=16.
Como W-2>0 (a largura interna W-2 deve ser positiva), tomamos a raiz positiva:
W-2=4\quad\Rightarrow\quad W=6.

Passo 6

Com W=6 encontramos H pela expressão obtida no Passo 3:
H=\frac{24}{W-2}+3=\frac{24}{6-2}+3=\frac{24}{4}+3=6+3=9.
Assim, a solução candidata é W=6 polegadas e H=9 polegadas.

Passo 7

Para garantir que este ponto crítico minimiza a área, verificamos a segunda derivada. A partir de
A'(W)=-48(W-2)^{-2}+3,
derivando de novo (regra da potência),
A''(W)= -48\cdot(-2)(W-2)^{-3}=96(W-2)^{-3}.
Para W>2 temos A''(W)>0, ou seja, A é convexa e o ponto crítico é um mínimo. Portanto W=6 dá a área mínima.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: a área de impressão resultante é (W-2)(H-3)=(6-2)(9-3)=4\cdot6=24, como exigido. As margens estão respeitadas (laterais 1+ 1, topo/rodapé 1,5+ 1,5). Tudo consistente.

Resposta

Largura: 6 polegadas
Altura: 9 polegadas

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