Calcule as integrais seguir, por substituição
(i) integral1 / 6^1 / 2 cossec(pi t) cotg(pi t) d t( Resposta: 1 / pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica pra facilitar a integração quando a integral tem uma função e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Isso significa que a gente vai substituir todas as ocorrências de por .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudt = pi Rightarrow dt = dupi em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação , temos:
Então, .

Passo 4

Vamos mudar os limites de integração de u = pi times 16 = pi6 para u = pi times 12 = pi2 . Quando ,
E quando ,
Então, agora nossa integral vai de a .

Passo 5

Substituindo integral1 / 6^1 / 2 csc(pi t) cot(pi t) , dt = integralpi/6^pi/2 csc(u) cot(u) times dupi = 1pi integralpi/6^pi/2 csc(u) cot(u) , du e na integral original:
Agora, a gente tem uma integral mais simples: .

Passo 6

Sabemos que a derivada de ddu csc(u) = -csc(u) cot(u) é . Ou seja:
Então, a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando isso na nossa integral:
1pi integralpi/6^pi/2 csc(u) cot(u) , du = 1pi [ -csc(u) ]pi/6^pi/2
Isso significa que vamos calcular nos limites de e .

Passo 8

Calculando nos limites:
-csc(pi2) = -1 (porque csc(pi2) = 1)
-csc(pi6) = -2 (porque csc(pi6) = 2)
Agora, subtraindo:
-1 - (-2) = -1 + 2 = 1

Resposta

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