Calcule as integrais seguir, por substituição
(i)
Resposta:
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica pra facilitar a integração quando a integral tem uma função e sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar
. Isso significa que a gente vai substituir todas as ocorrências de
por
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Diferenciando ambos os lados da equação
, temos:
Então,
.
Passo 4
Vamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
,
E quando
,
Então, agora nossa integral vai de
a
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Agora, a gente tem uma integral mais simples:
.
Passo 6
Sabemos que a derivada de
é
. Ou seja:
Então, a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando isso na nossa integral:
Isso significa que vamos calcular
nos limites de
e
.
Passo 8
Calculando nos limites:
Agora, subtraindo: