Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado
(d) integral sen^3(x)raizcos (x) d x (Resposta: 2 raizcos (x)(cos ^2(x)5-1)+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a matéria que vamos usar é o cálculo de integrais, especificamente métodos de substituição. Para isso, vamos precisar manipular a expressão trigonométrica e escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a substituição. Sabemos que , então podemos escrever:
Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dt = -sen(x) , dx Rightarrow sen(x) , dx = -dt . Então, a derivada de integral (1 - t^2)raizt cdot (-dt) = -integral 1 - t^2raizt , dt em relação a é:
Substituindo e na integral, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a integral agora:
-integral 1raizt - t^2 cdot 1raizt , dt = -integral t^-1/2 - t^3/2 , dt
Isso é possível porque e .

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
-( integral t^-1/2 , dt - integral t^3/2 , dt )
As integrais são:
integral t^-1/2 , dt = 2 t^1/2 + C e integral t^3/2 , dt = 25 t^5/2 + C
Então, substituindo de volta:
-( 2 t^1/2 - 25 t^5/2 ) + C = -2 t^1/2 + 25 t^5/2 + C

Passo 6

Agora, vamos substituir -2 (cos(x))^1/2 + 25 (cos(x))^5/2 + C de volta na expressão:
2 raizcos(x) ( (cos(x))^25 - 1 ) + C
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

2 raizcos (x)(cos ^2(x)5-1)+C

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