Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma função racional em
. - A integral é indefinida (há uma constante de integração).
- A expressão só está definida para
(por causa do denominador).
Passo 2
Primeiro simplificamos a função integranda termo a termo, usando a propriedade de potências
. Assim:
Passo 3
Lembrete das regras de integração que vamos usar:
- Regra da potência (para
):
Aqui
é a variável de integração,
é um número real diferente de
e
é a constante de integração.
- Caso especial
:
Usa-se
porque o logaritmo natural exige argumento positivo, e a derivada de
é
para
.
Passo 4
Integramos termo a termo a expressão simplificada:
Agora aplicamos as fórmulas:
Substituindo:
onde os constantes
foram combinados em uma única constante
. Portanto
Passo 5
Verificação por diferenciação (checar que não deu bobagem): derivando o resultado
que é exatamente a forma simplificada do integrando; voltando à forma original,
Logo a primitiva encontrada está correta.