Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \frac{y^{2}-3 y}{y^{3}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{y^{2}-3 y}{y^{3}}\,dy.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função racional em y.
  • A integral é indefinida (há uma constante de integração).
  • A expressão só está definida para \,y\neq 0\, (por causa do denominador).

Passo 2

Primeiro simplificamos a função integranda termo a termo, usando a propriedade de potências \dfrac{y^{a}}{y^{b}}=y^{a-b}. Assim:
\frac{y^{2}-3y}{y^{3}}=\frac{y^{2}}{y^{3}}-\frac{3y}{y^{3}}=y^{-1}-3y^{-2}.

Passo 3

Lembrete das regras de integração que vamos usar:
  • Regra da potência (para n\neq -1):
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui y é a variável de integração, n é um número real diferente de -1 e C é a constante de integração.
  • Caso especial n=-1:
\int y^{-1}\,dy=\int \frac{1}{y}\,dy=\ln\lvert y\rvert + C.
Usa-se \lvert y\rvert porque o logaritmo natural exige argumento positivo, e a derivada de \ln\lvert y\rvert é 1/y para y\neq0.

Passo 4

Integramos termo a termo a expressão simplificada:
\int\!\bigl(y^{-1}-3y^{-2}\bigr)\,dy=\int y^{-1}\,dy-3\int y^{-2}\,dy.
Agora aplicamos as fórmulas:
\int y^{-1}\,dy=\ln\lvert y\rvert + C_{1}, \qquad \int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}+C_{2}=-y^{-1}+C_{2}.
Substituindo:
\int\!\bigl(y^{-1}-3y^{-2}\bigr)\,dy=\ln\lvert y\rvert -3(-y^{-1}) + C,
onde os constantes C_{1},C_{2} foram combinados em uma única constante C. Portanto
\int \frac{y^{2}-3 y}{y^{3}}\,dy=\ln\lvert y\rvert + 3y^{-1} + C.

Passo 5

Verificação por diferenciação (checar que não deu bobagem): derivando o resultado
\frac{d}{dy}\bigl(\ln\lvert y\rvert + 3y^{-1}\bigr)=\frac{1}{y}+3(-1)y^{-2}=y^{-1}-3y^{-2},
que é exatamente a forma simplificada do integrando; voltando à forma original,
y^{-1}-3y^{-2}=\frac{y^{2}-3y}{y^{3}}.
Logo a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\ln\lvert y\rvert + 3y^{-1} + C

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