Um fluido escoa confinado a uma esfera e o perfil de velocidades do escoamento é \overrightarrow{\mathbf{v}}(r, \theta, \varphi)= r^{2} \hat{r}+r^{4} \sin (\varphi) \hat{\theta}+r^{2} \hat{\varphi}. Calcule a vorticidade do escoamento do fluido.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade em coordenadas esféricas e pede a vorticidade (ou rotacional) do escoamento. Os dados fornecidos são:
  • O campo de velocidade é \overrightarrow{\mathbf{v}}(r,\theta,\varphi)=r^{2}\,\hat{r}+r^{4}\sin(\varphi)\,\hat{\theta}+r^{2}\,\hat{\varphi}.
  • A tarefa: calcular \nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}} (a vorticidade) e entregar o resultado em componentes nas direções \hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}.

Passo 2

Primeiro, o que é vorticidade? A vorticidade é o rotacional do campo de velocidades:
\overrightarrow{\omega}=\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}.
Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) (com \theta = colatitude, ângulo polar, e \varphi = azimute), se o campo tem componentes v_{r},v_{\theta},v_{\varphi} na base \hat r,\hat\theta,\hat\varphi, as componentes do rotacional são dadas por (fórmulas padrão):
(\nabla\times\mathbf{v})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,v_{\varphi}\big)-\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\varphi}\right],
(\nabla\times\mathbf{v})_{\theta}=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_{r}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,v_{\varphi}\big)\right],
(\nabla\times\mathbf{v})_{\varphi}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,v_{\theta}\big)-\frac{\partial v_{r}}{\partial\theta}\right].
Explicando cada termo:
  • v_{r},v_{\theta},v_{\varphi} são as componentes escalares do campo de velocidade nas direções \hat r,\hat\theta,\hat\varphi.
  • As derivadas parciais \partial/\partial r,\partial/\partial\theta,\partial/\partial\varphi significam derivar mantendo as outras coordenadas fixas.
  • Os fatores 1/(r) e 1/(r\sin\theta) aparecem por causa da geometria da base não-ortonormal dependente de r,\theta.

Passo 3

Identifico as componentes do campo dadas no enunciado:
v_{r}=r^{2},\qquad v_{\theta}=r^{4}\sin\varphi,\qquad v_{\varphi}=r^{2}.
Vou calcular as derivadas que aparecem nas fórmulas do passo anterior.

Passo 4

Calculo os termos que entram em (\nabla\times\mathbf{v})_{r}:
  • Primeiro \frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,v_{\varphi}\big)=\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\cdot r^{2}\big). Aqui r^{2} é tratado como constante em relação a \theta, logo
\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\cdot r^{2}\big)=r^{2}\cos\theta.
  • Depois \frac{\partial v_{\theta}}{\partial\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(r^{4}\sin\varphi\big)=r^{4}\cos\varphi.
Agora aplico a fórmula:
(\nabla\times\mathbf{v})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\big(r^{2}\cos\theta - r^{4}\cos\varphi\big).
Posso simplificar por r:
(\nabla\times\mathbf{v})_{r}=\frac{r^{2}\cos\theta}{r\sin\theta}-\frac{r^{4}\cos\varphi}{r\sin\theta}=r\frac{\cos\theta}{\sin\theta}-r^{3}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta}.
Usando \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}, fica
(\nabla\times\mathbf{v})_{r}=r\cot\theta - r^{3}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta}.

Passo 5

Calculo (\nabla\times\mathbf{v})_{\theta}:
  • Primeiro \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_{r}}{\partial\varphi}=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}(r^{2}). Como r^{2} não depende de \varphi, essa derivada é zero:
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_{r}}{\partial\varphi}=0.
  • Segundo \frac{\partial}{\partial r}\big(r\,v_{\varphi}\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(r\cdot r^{2}\big)=\frac{\partial}{\partial r}(r^{3})=3r^{2}.
Aplicando a fórmula:
(\nabla\times\mathbf{v})_{\theta}=\frac{1}{r}\big(0-3r^{2}\big)=-\frac{3r^{2}}{r}=-3r.

Passo 6

Calculo (\nabla\times\mathbf{v})_{\varphi}:
  • Primeiro \frac{\partial}{\partial r}\big(r\,v_{\theta}\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(r\cdot r^{4}\sin\varphi\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{5}\sin\varphi\big)=5r^{4}\sin\varphi.
  • Segundo \frac{\partial v_{r}}{\partial\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}(r^{2})=0 (novamente r^{2} não depende de \theta).
Logo
(\nabla\times\mathbf{v})_{\varphi}=\frac{1}{r}\big(5r^{4}\sin\varphi - 0\big)=5r^{3}\sin\varphi.

Passo 7

Juntando as três componentes obtidas, a vorticidade é
\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=\bigg(r\cot\theta - r^{3}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta}\bigg)\hat{r} -3r\,\hat{\theta} + 5r^{3}\sin\varphi\,\hat{\varphi}.

Resposta

\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(r\cot\theta - r^{3}\dfrac{\cos\varphi}{\sin\theta}\right)\hat{r}-3r\,\hat{\theta}+5r^{3}\sin\varphi\,\hat{\varphi}

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