Um fluido escoa confinado a uma esfera e o perfil de velocidades do escoamento é
. Calcule a vorticidade do escoamento do fluido.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade em coordenadas esféricas e pede a vorticidade (ou rotacional) do escoamento. Os dados fornecidos são:
- O campo de velocidade é
- A tarefa: calcular
(a vorticidade) e entregar o resultado em componentes nas direções .
Passo 2
Primeiro, o que é vorticidade? A vorticidade é o rotacional do campo de velocidades:
Em coordenadas esféricas
(com
= colatitude, ângulo polar, e
= azimute), se o campo tem componentes
na base
, as componentes do rotacional são dadas por (fórmulas padrão):
Explicando cada termo:
-
são as componentes escalares do campo de velocidade nas direções . - As derivadas parciais
significam derivar mantendo as outras coordenadas fixas. - Os fatores
e aparecem por causa da geometria da base não-ortonormal dependente de .
Passo 3
Identifico as componentes do campo dadas no enunciado:
Vou calcular as derivadas que aparecem nas fórmulas do passo anterior.
Passo 4
Calculo os termos que entram em
:
- Primeiro
. Aqui é tratado como constante em relação a , logo
- Depois
Agora aplico a fórmula:
Posso simplificar por
:
Usando
, fica
Passo 5
Calculo
:
- Primeiro
. Como não depende de , essa derivada é zero:
- Segundo
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Calculo
:
- Primeiro
- Segundo
(novamente não depende de ).
Logo
Passo 7
Juntando as três componentes obtidas, a vorticidade é