Calcule as integrais a seguir utilizando substituição trigonométrica.
\int \frac{3 x^{2}}{\left(9-x^{2}\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x^{2}}{\bigl(9 - x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos precisar reconhecer a forma a^{2}-x^{2} e usar uma substituição que transforme essa raiz em função trigonométrica.

Passo 2

Como temos 9 - x^{2}, escolhemos
x = 3\sin\theta, \quad dx = 3\cos\theta\,d\theta.
Nesse caso
9 - x^{2} = 9 - 9\sin^{2}\theta = 9\cos^{2}\theta,
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\bigl(9 - x^{2}\bigr)^{3/2} = \bigl(9\cos^{2}\theta\bigr)^{3/2} = 27\cos^{3}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original:
x^{2} = 9\sin^{2}\theta, \quad dx = 3\cos\theta\,d\theta,
então o numerador fica
3x^{2}\,dx = 3\cdot(9\sin^{2}\theta)\cdot(3\cos\theta\,d\theta) =81\,\sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta,
e o denominador é 27\cos^{3}\theta. Assim
\int \frac{3x^{2}}{(9 - x^{2})^{3/2}}\,dx = \int \frac{81\,\sin^{2}\theta\cos\theta}{27\cos^{3}\theta}\,d\theta =3\int \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\,d\theta =3\int \tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para integrar \tan^{2}\theta, usamos a identidade \tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1. Portanto,
3\int \tan^{2}\theta\,d\theta =3\int (\operatorname{sec}^{2}\theta - 1)\,d\theta =3\bigl(\tan\theta - \theta\bigr) + C.

Passo 5

Voltemos à variável x. Da substituição x=3\sin\theta temos
\sin\theta = \frac{x}{3}, \quad \cos\theta = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3}, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}},
e
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
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3\bigl(\tan\theta - \theta\bigr) =3\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} -3\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{3x^{2}}{(9 - x^{2})^{3/2}}\,dx = \frac{3x}{\sqrt{9 - x^{2}}} -3\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

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