Calcule as integrais a seguir utilizando a técnica de integração por partes.
\int x \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \int x\ln x\,dx usando integração por partes. A técnica se baseia na fórmula:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos u = \ln x e dv = x\,dx, pois assim simplificamos a parte logarítmica. Da definição:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int x\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx.

Passo 4

Calculamos \int x\,dx = \frac{x^2}{2}. Substituindo na expressão:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

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