Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
\int \frac{3 x-2}{x^{2}+x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x-2}{x^{2}+x-2}\,dx
usando a técnica de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador, expressar a função como soma de frações mais simples e, em seguida, integrar cada termo usando logaritmos.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).

Passo 3

Escrevemos a decomposição
\frac{3x-2}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x-1)\), obtemos \[3x - 2 = A(x - 1) + B(x + 2).
Igualando coeficientes de x e termo constante:
\begin{cases} A + B = 3,\\\\ -\,A + 2B = -2. \end{cases}
Da primeira equação (A = 3 - B]. Substituindo na segunda:
-(3 - B) + 2B = -2 \quad\Longrightarrow\quad 3B - 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{3},
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A = 3 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{8}{3}.

Passo 4

Substituindo A e B na integral, temos
\int \frac{3x-2}{x^{2}+x-2}\,dx = \int \Bigl(\frac{8/3}{x+2} + \frac{1/3}{x-1}\Bigr)\,dx = \frac{8}{3}\int \frac{dx}{x+2} + \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1}.
Cada integral é um logaritmo:
\frac{8}{3}\ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{1}{3}\ln\bigl|x-1\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{3x-2}{x^{2}+x-2}\,dx = \frac{8}{3}\ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{1}{3}\ln\bigl|x-1\bigr| + C.

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