Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais. \int \frac{3 x-2}{x^{2}+x-2} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x-2}{x^{2}+x-2}\,dx
usando a técnica de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador, expressar a função como soma de frações mais simples e, em seguida, integrar cada termo usando logaritmos.
Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x-1)\), obtemos
\[3x - 2 = A(x - 1) + B(x + 2).
Igualando coeficientes de x e termo constante:
\begin{cases} A + B = 3,\\\\ -\,A + 2B = -2. \end{cases}
Da primeira equação (A = 3 - B]. Substituindo na segunda: -(3 - B) + 2B = -2 \quad\Longrightarrow\quad 3B - 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{3},
logo A = 3 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{8}{3}.