Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
\int \frac{x^{3}+3 x^{2}-x+1}{x^{2}+2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{x^{3}+3x^{2}-x+1}{x^{2}+2x+1}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, vamos primeiro fazer divisão de polinômios para obter uma parte polinomial mais uma fração própria.

Passo 2

Dividindo
x^{3}+3x^{2}-x+1
por
x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2},
temos:
  1. x^{3}\div x^{2}=x, multiplica-se x(x^{2}+2x+1)=x^{3}+2x^{2}+x.
  2. Subtraindo do numerador sobra x^{2}-2x+1.
  3. x^{2}\div x^{2}=1, multiplica-se 1\cdot(x^{2}+2x+1)=x^{2}+2x+1.
  4. Subtraindo sobra -4x.
Logo
\frac{x^{3}+3x^{2}-x+1}{(x+1)^{2}} = x + 1 \;+\; \frac{-4x}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa divisão:
\int \frac{x^{3}+3x^{2}-x+1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)\,dx \;-\;4\int \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx.

Passo 4

Para a fração \displaystyle \frac{x}{(x+1)^{2}}, fazemos x=(x+1)-1, então
\frac{x}{(x+1)^{2}} = \frac{x+1}{(x+1)^{2}} - \frac{1}{(x+1)^{2}} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}}.
Assim
-4\int \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx = -4\int \frac{1}{x+1}\,dx +4\int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx.

Passo 5

Agora integramos cada parte:
  1. \displaystyle \int (x+1)\,dx = \frac{1}{2}x^{2}+x.
  2. \displaystyle -4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln\bigl|x+1\bigr|.
  3. \displaystyle 4\int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx. Como \int (x+1)^{-2}dx = -(x+1)^{-1}, resulta
4\bigl[-(x+1)^{-1}\bigr] = -\frac{4}{x+1}.

Resposta

\frac{1}{2}x^{2} + x \;-\;4\ln\bigl|x+1\bigr|\;-\;\frac{4}{x+1} + C.

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