Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
\int \frac{x}{x^{2}+4 x+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{x^{2}+4x+4}\,dx
usando integração por frações parciais. Aqui o conteúdo é fatorar o denominador, escrever a função como soma de frações simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Observamos que
x^{2}+4x+4 = (x+2)^{2},
logo a integral vira
\int \frac{x}{(x+2)^{2}}\,dx.

Passo 3

Para decompor em frações parciais, supomos que
\frac{x}{(x+2)^{2}} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^{2}}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+2)^{2} fica
x = A(x+2) + B.
Desenvolvendo o lado direito,
x = Ax + 2A + B.
Comparando coeficientes de x e de termo constante, obtemos
A = 1, \qquad 2A + B = 0 \;\Rightarrow\; 2\cdot1 + B = 0 \;\Rightarrow\; B = -2.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição, temos
\frac{x}{(x+2)^{2}} = \frac{1}{x+2} - \frac{2}{(x+2)^{2}}.
Assim a integral se separa em
\int \frac{1}{x+2}\,dx \;-\; 2\int \frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx.
Sabemos que
\int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln\bigl|x+2\bigr|
e que, usando \displaystyle\int (x+2)^{-2}dx = -(x+2)^{-1},
-2\int (x+2)^{-2}dx = -2\bigl[-(x+2)^{-1}\bigr] = \frac{2}{x+2}.

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
\int \frac{x}{x^{2}+4x+4}\,dx = \ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{2}{x+2} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{\ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{2}{x+2} + C}.

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