Calcule as integrais por substituição trigonométrica: \int \sqrt{4+x^{2}} d x \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{\alpha} x \quad \operatorname{tg} \alpha=x / 2 \alpha=\operatorname{arctg} x / 2 x=2 \cdot \operatorname{tg} \alpha \frac{d x}{d \alpha}=2 \cdot \operatorname{sec} ^{2} \alpha \Rightarrow d x=2 \operatorname{sec} ^{2} \alpha d \alpha \operatorname{sec} \alpha= & \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} Passo 1O enunciado pede para calcular \int \sqrt{4+x^{2}}\;dx usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição x = 2\tan\alpha,\quad dx = 2\operatorname{sec}^{2}\!\alpha\,d\alpha, e observar que \sqrt{4+x^{2}} = \sqrt{4+4\tan^{2}\!\alpha} = 2\operatorname{sec}\alpha. Passo 2Substituindo na integral original, temos \int \sqrt{4+x^{2}}\;dx = \int \bigl(2\operatorname{sec}\alpha\bigr)\,\bigl(2\operatorname{sec}^{2}\!\alpha\,d\alpha\bigr) = 4\int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha. Passo 3Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha, usamos integração por partes. Escrevemos \int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha = \int \operatorname{sec}\alpha\cdot\operatorname{sec}^{2}\!\alpha\,d\alpha e tomamos u = \operatorname{sec}\alpha,\quad dv = \operatorname{sec}^{2}\!\alpha\,d\alpha \implies du = \operatorname{sec}\alpha\tan\alpha\,d\alpha,\quad v = \tan\alpha. Então \int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha = \operatorname{sec}\alpha\tan\alpha - \int \tan\alpha\cdot\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha\,d\alpha = \operatorname{sec}\alpha\tan\alpha - \int \operatorname{sec}\alpha\tan^{2}\!\alpha\,d\alpha. Como \tan^{2}\!\alpha = \operatorname{sec}^{2}\!\alpha - 1, segue \int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha = \operatorname{sec}\alpha\tan\alpha - \int \bigl(\operatorname{sec}^{3}\!\alpha - \operatorname{sec}\alpha\bigr)\,d\alpha = \operatorname{sec}\alpha\tan\alpha - \int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha + \int \operatorname{sec}\alpha\,d\alpha. Reorganizando, 2\int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha = \operatorname{sec}\alpha\tan\alpha + \int \operatorname{sec}\alpha\,d\alpha = \operatorname{sec}\alpha\tan\alpha + \ln\bigl|\operatorname{sec}\alpha + \tan\alpha\bigr|. Logo \int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha = \tfrac12\bigl(\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha + \ln\bigl|\operatorname{sec}\alpha + \tan\alpha\bigr|\bigr). Passo 4Voltando à integral multiplicada por 4, obtemos 4\int \operatorname{sec}^{3}\!\alpha\,d\alpha = 4\cdot \tfrac12\bigl(\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha + \ln\bigl|\operatorname{sec}\alpha + \tan\alpha\bigr|\bigr) = 2\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha + 2\ln\bigl|\operatorname{sec}\alpha + \tan\alpha\bigr| + C. Agora substituímos \operatorname{sec}\alpha = \dfrac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} e \tan\alpha = \dfrac{x}{2}: 2\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha = 2\cdot\frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2}\cdot\frac{x}{2} = \frac{x\sqrt{4+x^{2}}}{2}, \operatorname{sec}\alpha + \tan\alpha = \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} = \frac{x + \sqrt{4+x^{2}}}{2}. Como \ln\bigl|\tfrac{x+\sqrt{4+x^{2}}}{2}\bigr| = \ln\bigl|x+\sqrt{4+x^{2}}\bigr| - \ln 2, o termo -2\ln 2 entra em C. Resposta \int \sqrt{4+x^{2}}\;dx = \frac{x\sqrt{4+x^{2}}}{2} + 2\ln\bigl|x + \sqrt{4+x^{2}}\bigr| + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSabendo que \frac{d}{d x}(\operatorname{arctg}(x))=\frac{1}{1+x^{2}}, calcule a integral \int \operatorname{arctg}(x) d x usando a técnica de inte- integração por partes. Para isto indica-se usar \int 1 \cdot \operatorname{arctg}(x) d x, escolhendo u=\operatorname{arctg}(x) e d v=1 \cdot d x na fórmula \int u d v=u \cdot v-\int v d u e por fim resolver a integral resultante por substituição. Aplique este procedimento aos demais casos abaixo: \int_{0}^{1 / 2} \operatorname{arcsen}(x) d x Sabendo que \frac{d}{d x}(\operatorname{arctg}(x))=\frac{1}{1+x^{2}}, calcule a integral \int \operatorname{arctg}(x) d x usando a técnica de inte- integração por partes. Para isto indica-se usar \int 1 \cdot \operatorname{arctg}(x) d x, escolhendo u=\operatorname{arctg}(x) e d v=1 \cdot d x na fórmula \int u d v=u \cdot v-\int v d u e por fim resolver a integral resultante por substituição. Aplique este procedimento aos demais casos abaixo: \int_{0}^{1 / 2} \operatorname{arcsen}(x) d x Calcule as integrais por substituição trigonométrica: \int \sqrt{4+x^{2}} d x \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{\alpha} x \quad \operatorname{tg} \alpha=x / 2 \alpha=\operatorname{arctg} x / 2 x=2 \cdot \operatorname{tg} \alpha \frac{d x}{d \alpha}=2 \cdot \operatorname{sec} ^{2} \alpha \Rightarrow d x=2 \operatorname{sec} ^{2} \alpha d \alpha \operatorname{sec} \alpha= & \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} Esboce num mesmo sistema de eixos as funções abaixo e calcule a área da região compreendida entre as curvas: y=x e y=x^{2}.