Sabendo que \frac{d}{d x}(\operatorname{arctg}(x))=\frac{1}{1+x^{2}}, calcule a integral \int \operatorname{arctg}(x) d x usando a técnica de inte-
integração por partes. Para isto indica-se usar \int 1 \cdot \operatorname{arctg}(x) d x, escolhendo u=\operatorname{arctg}(x) e d v=1 \cdot d x na fórmula
\int u d v=u \cdot v-\int v d u
e por fim resolver a integral resultante por substituição. Aplique este procedimento aos demais casos abaixo:
\int_{0}^{1 / 2} \operatorname{arcsen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas integrais usando integração por partes:
  1. A integral indefinida \int \operatorname{arctg}(x)\,dx.
  2. A integral definida \displaystyle \int_{0}^{1/2}\arcsin(x)\,dx.
    O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que usa
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Para \displaystyle \int \operatorname{arctg}(x)\,dx, escolhemos
u = \operatorname{arctg}(x),\quad dv = dx.
Então
du = \frac{1}{1+x^2}\,dx,\quad v = x.
Aplicando a fórmula:
\int \operatorname{arctg}(x)\,dx = x\operatorname{arctg}(x) - \int x\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 3

A integral \displaystyle \int \frac{x}{1+x^2}\,dx faz-se por substituição. Seja
t = 1+x^2,\quad dt = 2x\,dx\;\Longrightarrow\; x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dt.
Logo
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac12\int t^{-1}\,dt = \frac12\ln|t| + C = \frac12\ln(1+x^2) + C.

Passo 4

Substituindo em (Passo 2):
\int \operatorname{arctg}(x)\,dx = x\operatorname{arctg}(x) - \frac12\ln(1+x^2) + C.

Passo 5

Agora, para \displaystyle \int_{0}^{1/2}\arcsin(x)\,dx, fazemos o mesmo esquema indefinido:
u = \arcsin(x),\quad dv = dx \;\Longrightarrow\; du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,\quad v=x.

Passo 6

Pela partes:
\int \arcsin(x)\,dx = x\arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
Para \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx usamos substituição:
w = 1-x^2,\quad dw = -2x\,dx\;\Longrightarrow\; x\,dx = -\tfrac12\,dw,
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac12\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C.

Passo 7

Logo a primitiva é
\int \arcsin(x)\,dx = x\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C.
Para a integral definida de 0 a 1/2, basta avaliar:
F(x)=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2},
F\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac12\arcsin\bigl(\tfrac12\bigr)+\sqrt{1-\tfrac14} =\tfrac12\cdot\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{\sqrt3}{2} =\tfrac{\pi}{12} + \tfrac{\sqrt3}{2},
F(0)=0\cdot\arcsin(0)+\sqrt{1}=1.

Resposta

Para a integral indefinida:
\int \operatorname{arctg}(x)\,dx = x\operatorname{arctg}(x) - \tfrac12\ln(1+x^2) + C.
Para a integral definida:
\int_{0}^{1/2}\arcsin(x)\,dx = \left(\tfrac{\pi}{12} + \tfrac{\sqrt3}{2}\right) - 1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt3}{2} - 1.

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