Calcule as integrais trigonométricas:
\int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \operatorname{cotg}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/3}^{\pi/2} \operatorname{cotg}^2 x \, dx.
O conteúdo aqui é integrar uma função trigonométrica ao quadrado. Para isso vamos usar a identidade
\operatorname{cotg}^2 x = \csc^2 x - 1
e depois aplicar as antiderivadas conhecidas de \csc^2 x e de constantes.

Passo 2

Usando a identidade, reescrevemos a integral como
\int_{\pi/3}^{\pi/2} \operatorname{cotg}^2 x \, dx = \int_{\pi/3}^{\pi/2} \bigl(\csc^2 x - 1\bigr)\,dx.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dx}(\operatorname{cotg} x) = -\,\csc^2 x,
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\int \csc^2 x\,dx = -\,\operatorname{cotg} x, \quad \int 1\,dx = x.
Portanto, a antiderivada de \csc^2 x - 1 é
-\,\operatorname{cotg} x \;-\; x.

Passo 4

Aplicando os limites de \pi/3 a \pi/2, temos
\Bigl[-\operatorname{cotg} x - x\Bigr]_{\pi/3}^{\pi/2} = \bigl(-\operatorname{cotg}(\pi/2)-\tfrac{\pi}{2}\bigr) -\bigl(-\operatorname{cotg}(\pi/3)-\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Como \operatorname{cotg}(\pi/2)=0 e \operatorname{cotg}(\pi/3)=1/\sqrt{3}, isso dá
\bigl(0 - \tfrac{\pi}{2}\bigr) -\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}} - \tfrac{\pi}{3}\Bigr) = -\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{1}{\sqrt{3}} + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} - \tfrac{\pi}{6}.

Resposta

\int_{\pi/3}^{\pi/2} \operatorname{cotg}^2 x \, dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \;-\; \frac{\pi}{6}.

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