Usando uma substituição trigonométrica adequada, calcule cada integral.
\int \frac{1}{x^{4} \sqrt{4-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x^{4}\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx
usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo principal é transformar a raiz em função de \theta com x=2\sin\theta, reescrever toda a integral em termos de \theta, integrar uma potência de csc e depois voltar a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2\sin\theta, \quad dx = 2\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - 4\sin^{2}\theta} = 2\cos\theta.
Além disso,
x^{4} = (2\sin\theta)^{4} = 16\,\sin^{4}\theta.

Passo 3

Reescrevendo a integral em \theta:
\int \frac{1}{x^{4}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{16\,\sin^{4}\theta \;\cdot\;2\cos\theta}\;\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = \frac{1}{16}\int \csc^{4}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para integrar \int \csc^{4}\theta\,d\theta usamos \csc^{4}\theta = \csc^{2}\theta\,(1+\cot^{2}\theta). Então
\int \csc^{4}\theta\,d\theta = \int \bigl(\csc^{2}\theta + \cot^{2}\theta\,\csc^{2}\theta\bigr)\,d\theta = \int \csc^{2}\theta\,d\theta + \int \cot^{2}\theta\,\csc^{2}\theta\,d\theta.
Como \frac{d}{d\theta}(\,-\cot\theta)=\csc^{2}\theta, tomamos u=\cot\theta, du=-\csc^{2}\theta\,d\theta. Logo
\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta, \quad \int \cot^{2}\theta\,\csc^{2}\theta\,d\theta = \int u^{2}(-du) = -\frac{u^{3}}{3} = -\frac{\cot^{3}\theta}{3}.
Portanto
\int \csc^{4}\theta\,d\theta = -\cot\theta - \frac{\cot^{3}\theta}{3} + C.

Passo 5

Voltando a x:
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{4-x^{2}}/2}{x/2} = \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}.
Então
\int \frac{1}{x^{4}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx = \frac{1}{16}\Bigl(-\cot\theta - \tfrac{1}{3}\cot^{3}\theta\Bigr)+C = -\frac{1}{16}\,\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x} - \frac{1}{48}\,\frac{(4-x^{2})^{3/2}}{x^{3}} + C.

Resposta

-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{16\,x} \;-\; \frac{(4-x^{2})^{3/2}}{48\,x^{3}} \;+\;C.

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