Calcule a integral.
11. F(y)=\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}\right)\left(y+5 y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função F(y) e pede para calcular a integral (isto é, encontrar uma antiderivada):
F(y)=\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}\right)\left(y+5 y^{3}\right).
Informações relevantes que temos:
  • A função está dada como produto de duas expressões racionais em y.
  • O objetivo é calcular \displaystyle \int F(y)\,dy (a antiderivada de F em relação a y).
  • Valores específicos de y não são fornecidos nem pedidos; queremos a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e por que):
  • É muito mais simples primeiro expandir (multiplicar) o produto e simplificar a expressão em potências de y. Depois integrar termo a termo.
  • Isso funciona porque, após a expansão, todos os termos ficam na forma a\,y^{n} com n inteiro (podendo ser negativo), e para esses a regra do “power rule” se aplica diretamente.
  • Lembrete rápido das regras de integração que usarei:
    • Para n\neq -1: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
    • Para n=-1: \displaystyle \int y^{-1}\,dy=\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| + C.
      Vou então expandir o produto e escrever F(y) como soma de potências de y.

Passo 3

Multiplicar cada termo da primeira parcela pelos termos da segunda (distributiva), calculando produto a produto:
\left(\frac{1}{y^{2}}\right)\cdot y = \frac{y}{y^{2}} = \frac{1}{y},
\left(\frac{1}{y^{2}}\right)\cdot 5y^{3} = \frac{5y^{3}}{y^{2}} = 5y,
\left(-\frac{3}{y^{4}}\right)\cdot y = -\frac{3y}{y^{4}} = -\frac{3}{y^{3}},
\left(-\frac{3}{y^{4}}\right)\cdot 5y^{3} = -\frac{15y^{3}}{y^{4}} = -\frac{15}{y}.

Passo 4

Somar os termos obtidos e juntar termos semelhantes (mesma potência de y):
F(y)=\frac{1}{y}+5y-\frac{3}{y^{3}}-\frac{15}{y}.
Agrupando \dfrac{1}{y}-\dfrac{15}{y}=-\dfrac{14}{y}, obtemos
F(y)=-\frac{14}{y}+5y-\frac{3}{y^{3}}.
Escrevendo em potências de y (útil para aplicar a regra da potência):
F(y)=-14\,y^{-1}+5\,y^{1}-3\,y^{-3}.

Passo 5

Aplicar as regras de integração termo a termo. Vou integrar cada termo separadomente, explicando cada aplicação da regra:
  • Para o termo -14\,y^{-1}: aqui n=-1, portanto usa-se a regra especial \int y^{-1}\,dy=\ln|y| + C.Multiplicando pelo coeficiente, obtemos \int -14\,y^{-1}\,dy = -14\ln|y|.
  • Para o termo 5\,y^{1}: aqui n=1\neq -1, usa-se a regra da potência: \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.Com n=1: \int 5\,y^{1}\,dy = 5\cdot\frac{y^{2}}{2} = \frac{5}{2}y^{2}.
  • Para o termo -3\,y^{-3}: aqui n=-3\neq -1, aplicando a regra da potência: \int -3\,y^{-3}\,dy = -3\cdot\frac{y^{-2}}{-2} = -3\cdot\left(-\frac{1}{2}y^{-2}\right)=\frac{3}{2}y^{-2}.

Passo 6

Juntar as primitivas parciais (cada termo integrado) e acrescentar a constante de integração C. Assim a antiderivada geral é a soma das contribuições:
\text{(primitiva)} = -14\ln|y| + \frac{5}{2}y^{2} + \frac{3}{2}y^{-2} + C.

Passo 7

Pequena checagem por derivação (para ganhar confiança): derivando termo a termo a expressão acima deve retornar F(y).
  • \dfrac{d}{dy}\big(-14\ln|y|\big) = -14\cdot \dfrac{1}{y} = -\dfrac{14}{y}.
  • \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{5}{2}y^{2}\right) = \dfrac{5}{2}\cdot 2y = 5y.
  • \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{3}{2}y^{-2}\right) = \dfrac{3}{2}\cdot(-2)y^{-3} = -3y^{-3} = -\dfrac{3}{y^{3}}.
    Somando dá exatamente F(y)=-\dfrac{14}{y}+5y-\dfrac{3}{y^{3}}, que é o integrando original. A checagem confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-14\ln|y|+\dfrac{5}{2}y^{2}+\dfrac{3}{2}y^{-2}+C

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