Calcule a integral.
11.
11.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a integral (isto é, encontrar uma antiderivada):
Informações relevantes que temos:
- A função está dada como produto de duas expressões racionais em
. - O objetivo é calcular
(a antiderivada de em relação a ). - Valores específicos de
não são fornecidos nem pedidos; queremos a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e por que):
- É muito mais simples primeiro expandir (multiplicar) o produto e simplificar a expressão em potências de
. Depois integrar termo a termo. - Isso funciona porque, após a expansão, todos os termos ficam na forma
com inteiro (podendo ser negativo), e para esses a regra do “power rule” se aplica diretamente. - Lembrete rápido das regras de integração que usarei:
- Para
: . - Para
: .
Vou então expandir o produto e escrevercomo soma de potências de .
- Para
Passo 3
Multiplicar cada termo da primeira parcela pelos termos da segunda (distributiva), calculando produto a produto:
Passo 4
Somar os termos obtidos e juntar termos semelhantes (mesma potência de
):
Agrupando
, obtemos
Escrevendo em potências de
(útil para aplicar a regra da potência):
Passo 5
Aplicar as regras de integração termo a termo. Vou integrar cada termo separadomente, explicando cada aplicação da regra:
- Para o termo
: aqui , portanto usa-se a regra especial Multiplicando pelo coeficiente, obtemos - Para o termo
: aqui , usa-se a regra da potência: Com : - Para o termo
: aqui , aplicando a regra da potência:
Passo 6
Juntar as primitivas parciais (cada termo integrado) e acrescentar a constante de integração
. Assim a antiderivada geral é a soma das contribuições:
Passo 7
Pequena checagem por derivação (para ganhar confiança): derivando termo a termo a expressão acima deve retornar
.
-
. -
. -
.
Somando dá exatamente, que é o integrando original. A checagem confirma que a primitiva está correta.