Calcule a integral 
 , onde 
  e 
  o triangulo com vértices 
  e -3 , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral 
 , onde 
  e 
  é um triângulo com vértices em 
  e 
 , percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver essa integral.
O que vamos precisar:
- Identificar os polos de 
.  - Verificar quais desses polos estão dentro do contorno 
.  - Calcular os resíduos nos polos que estão dentro de 
.  - Aplicar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral.
 
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos de 
 . Um polo ocorre onde a função fica sem definição, ou seja, onde o denominador é zero.
Os polos são os valores de 
  que zeram o denominador:
Então, temos três polos simples: 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Agora, precisamos determinar quais desses polos estão dentro do contorno 
 , que é um triângulo com vértices em 
 , 
  e 
 .
Vamos visualizar esses pontos no plano complexo:
- 
está no quadrante superior direito.  - 
está no quadrante inferior direito.  - 
está no eixo real, à esquerda.  
O triângulo formado por esses vértices cobre uma região que inclui partes do eixo real entre 
  e 
  e se estende um pouco para cima e para baixo devido aos pontos 
 .
Agora, vamos verificar os polos:
- 
: Está próximo ao ponto no eixo real, dentro do triângulo.  - 
: Também está entre e , dentro do triângulo.  - 
: Também entre e , dentro do triângulo.  
Então, todos os três polos 
 , 
  e 
  estão dentro do contorno 
 .
Passo 4
Vamos calcular agora os resíduos de 
  em cada um desses polos.
Para um polo simples, o resíduo de 
  em 
  é dado por:
Vamos calcular para cada polo:
- Polos em 
:  
- Polos em 
:  
- Polos em 
:  
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
onde a soma é feita sobre todos os resíduos dentro do contorno 
 .
Já que queremos calcular:
Substituindo pelo teorema:
Então, basta somar os resíduos que calculamos:
Resposta
A integral vale 
 .