Calcule a integral.
3-36 Calcule a integral.
7. \int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(x^{2}+2x\bigr)\cos x\,dx.
O conteúdo é integração por partes, usando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2}+2x, \quad dv = \cos x \, dx.
Então
du = (2x+2)\,dx, \quad v = \sin x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \bigl(x^{2}+2x\bigr)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x - \int (2x+2)\sin x\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int (2x+2)\sin x\,dx, fatoramos 2:
\int (2x+2)\sin x\,dx = 2\int (x+1)\sin x\,dx.
Usamos outra vez integração por partes em \displaystyle \int (x+1)\sin x\,dx:
u_{2}=x+1,\quad dv_{2}=\sin x\,dx \;\Longrightarrow\; du_{2}=dx,\quad v_{2}=-\cos x.

Passo 5

Então
\int (x+1)\sin x\,dx = (x+1)(-\,\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -(x+1)\cos x + \int\cos x\,dx = -(x+1)\cos x + \sin x.
Multiplicando por 2:
\int (2x+2)\sin x\,dx = -2(x+1)\cos x + 2\sin x.

Passo 6

De volta à integral original:
\int \bigl(x^{2}+2x\bigr)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x - \bigl[-2(x+1)\cos x + 2\sin x\bigr] + C
= (x^{2}+2x)\sin x + 2(x+1)\cos x - 2\sin x + C.

Passo 7

Agrupando os termos em \sin x:
(x^{2}+2x)\sin x - 2\sin x = (x^{2}+2x-2)\sin x.
Assim, uma antiderivada é
(x^{2}+2x-2)\sin x + 2(x+1)\cos x + C.

Resposta

\int \bigl(x^{2}+2x\bigr)\cos x\,dx = (x^{2}+2x-2)\sin x + 2(x+1)\cos x + C.

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