Calcule a integral.
3-36 Calcule a integral.
7. \int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x^{2} + 2x)\cos x \,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto entre um polinômio em x e \cos x.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = x^{2} + 2x, \quad dv = \cos x\,dx.
Então
du = (2x + 2)\,dx, \quad v = \sin x.

Passo 3

Pela fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x \;-\;\int (2x+2)\sin x\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \int (2x+2)\sin x\,dx
usando integração por partes de novo. Tome
u_{2} = 2x + 2, \quad dv_{2} = \sin x\,dx,
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du_{2} = 2\,dx, \quad v_{2} = -\cos x.

Passo 5

Pela mesma fórmula,
\int (2x+2)\sin x\,dx = -(2x+2)\cos x \;-\;\int \bigl(-\cos x\bigr)\,2\,dx = -(2x+2)\cos x + 2\int \cos x\,dx = -(2x+2)\cos x + 2\sin x.

Passo 6

Substituindo esse resultado em \displaystyle \int (x^{2}+2x)\cos x\,dx, obtemos
(x^{2}+2x)\sin x -\bigl[-(2x+2)\cos x + 2\sin x\bigr] = (x^{2}+2x)\sin x + (2x+2)\cos x - 2\sin x.
Para simplificar, note que
(x^{2}+2x)\sin x - 2\sin x = (x^{2}+2x-2)\sin x,
e
(2x+2)\cos x = 2(x+1)\cos x.

Resposta

\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x-2)\sin x \;+\;2(x+1)\cos x + C.

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