Calcule a integral.
39. integral cos x+sen xsen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral . Aqui estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, então vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador integral cos x + sin x2 sin x cos x , dx . Você lembra que ? Então, vamos substituir isso na integral:

Passo 3

Agora, vamos separar a fração no numerador:
integral ( cos x2 sin x cos x + sin x2 sin x cos x ) , dx
Simplificando cada termo:
integral ( 12 sin x + 12 cos x ) , dx

Passo 4

Então, podemos dividir a integral em duas partes:
12 integral 1sin x , dx + 12 integral 1cos x , dx
Lembrando que e .

Passo 5

Vamos integrar cada parte separadamente:
12 integral csc x , dx + 12 integral sec x , dx
Sabemos que:
integral csc x , dx = -ln |csc x + cot x| + C
integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C

Passo 6

Aplicando essas integrais:
12 ( -ln |csc x + cot x| ) + 12 ( ln |sec x + tan x| ) + C
Podemos simplificar isso como:
12 ln |sec x + tan x| - 12 ln |csc x + cot x| + C

Resposta

A integral é igual a:
12 ln |sec x + tan x| - 12 ln |csc x + cot x| + C
onde é a constante de integração.

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