Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m^3 de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa R o metro quadrado e na tampa material de o metro quadrado e na tampa material de o metro quadrado. Determine o raio da base cilíndrica que minimiza o custo do material empregado.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos construir uma caixa cilíndrica com um volume de 1 metro cúbico. O material para as laterais e o fundo custa R$10,00 por metro quadrado, enquanto a tampa custa R$20,00 por metro quadrado. Nosso objetivo é encontrar o raio da base do cilindro que vai minimizar o custo total do material utilizado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o volume da caixa com as dimensões do cilindro. O volume de um cilindro é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o raio da base,
  • é a altura do cilindro.
Sabemos que o volume é 1 metro cúbico. Podemos rearranjar a fórmula para encontrar a altura em função do raio:

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes do cilindro:
  1. Área da base ( ):
  1. Área lateral ( ):
  1. Área da tampa ( ):

Passo 4

Vamos agora calcular o custo total ( ) considerando os preços dos materiais:
Substituindo as áreas:

Passo 5

Para minimizar o custo, precisamos encontrar o valor de que faz com que seja mínimo. Isso é feito calculando a derivada de em relação a e igualando-a a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação para :

Passo 7

Calculando o valor numérico de :

Resposta

O raio da base cilíndrica que minimiza o custo do material empregado é aproximadamente 0,62 metros.

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