Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa
o metro quadrado e na tampa material de
o metro quadrado. Determine o raio da base cilíndrica que minimiza o custo do material empregado.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos construir uma caixa cilíndrica com um volume de 1 metro cúbico. O material para as laterais e o fundo custa R$10,00 por metro quadrado, enquanto a tampa custa R$20,00 por metro quadrado. Nosso objetivo é encontrar o raio da base do cilindro que vai minimizar o custo total do material utilizado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o volume da caixa com as dimensões do cilindro. O volume
de um cilindro é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o raio da base, -
é a altura do cilindro.
Sabemos que o volume
é 1 metro cúbico. Podemos rearranjar a fórmula para encontrar a altura em função do raio:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes do cilindro:
- Área da base (
):
- Área lateral (
):
- Área da tampa (
):
Passo 4
Vamos agora calcular o custo total (
) considerando os preços dos materiais:
Substituindo as áreas:
Passo 5
Para minimizar o custo, precisamos encontrar o valor de
que faz com que
seja mínimo. Isso é feito calculando a derivada de
em relação a
e igualando-a a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Passo 7
Calculando o valor numérico de
:
Resposta
O raio da base cilíndrica que minimiza o custo do material empregado é aproximadamente 0,62 metros.