Calcule a integral abaixo, esboçando a região de integração e o sólido cujo volume é dado pela integral calculada.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
que representa o volume de um sólido situado sob a superfície
sobre a região
no plano
definida por
e
. Vamos esboçar a região
, descrever o sólido e depois resolver a integral.
Passo 2
Esboçamos a região
no plano
: é o conjunto de pontos entre a curva
e o eixo
, para
variando de
a
. No ponto
temos
e em
temos
, formando uma área sob a parábola.
Passo 3
O sólido cujo volume calculamos tem base exatamente a região
e altura, em cada ponto
, dada por
. Em outras palavras, é o volume limitado pelos planos
,
,
,
e pela superfície inclinada
.
Passo 4
Começamos a calcular a integral interna em
:
Agora integramos em
de 0 a 1:
Calculando termo a termo,
Logo,
Resposta
O volume do sólido é
.