Calcule a integral abaixo, esboçando a região de integração e o sólido cujo volume é dado pela integral calculada.
integral0^1 integral0^1-x^2(1-x) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^1-x^2(1-x),dy,dx
que representa o volume de um sólido situado sob a superfície z=1-x sobre a região D no plano xy definida por 0<= x<=1 e 0<= y<=1-x^2. Vamos esboçar a região D, descrever o sólido e depois resolver a integral.

Passo 2

Esboçamos a região D no plano xy: é o conjunto de pontos entre a curva y=1-x^2 e o eixo x, para x variando de 0 a 1. No ponto x=0 temos y=1 e em x=1 temos y=0, formando uma área sob a parábola.

Passo 3

O sólido cujo volume calculamos tem base exatamente a região D e altura, em cada ponto (x,y), dada por z=1-x. Em outras palavras, é o volume limitado pelos planos x=0, y=0, y=1-x^2, z=0 e pela superfície inclinada z=1-x.

Passo 4

Começamos a calcular a integral interna em y:
integral0^1-x^2(1-x),dy = (1-x)l[yr]0^1-x^2 = (1-x)(1-x^2)
Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1(1-x)(1-x^2),dx = integral0^1l(1 - x - x^2 + x^3r),dx
Calculando termo a termo,
integral0^11,dx = 1, integral0^1x,dx = tfrac12, integral0^1x^2,dx = tfrac13, integral0^1x^3,dx = tfrac14
Logo,
1 - tfrac12 - tfrac33 + tfrac14 = 12 - 6 - 4 + 312 = 512

Resposta

O volume do sólido é 512.

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