Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da curva interseção da superfície
, com o plano
, orientada no sentido de crescimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva específica. A curva é a interseção entre a superfície
(que é uma elipsoide) com o plano
, e devemos considerar apenas a parte onde
. Além disso, a curva está orientada no sentido de crescimento de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois calcular a integral de linha usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a elipsoide
e o plano
. Substituindo
na equação da elipsoide:
Simplificando:
Isso descreve uma elipse no plano
com semi-eixos de comprimentos
em
e
em
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa elipse. Uma parametrização comum para uma elipse é:
Onde
e
são os comprimentos dos semi-eixos. No nosso caso,
e
. Portanto, a parametrização fica:
O parâmetro
varia de
a
para percorrer toda a elipse. Porém, como a curva está orientada no sentido de crescimento de
, consideraremos
de
a
, percorrendo do ponto onde
é máximo até onde
é mínimo, mas mantendo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os diferenciais
,
e
:
Passo 5
Em seguida, substituímos as parametrizações de
,
e
na expressão do campo vetorial
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando, já que o termo com
zera:
Passo 7
Vamos expandir os produtos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 8
Somando os dois termos:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos
de
a
:
Passo 10
Vamos resolver cada integral separadamente:
-
: Podemos usar substituição , . -
: Integra direta. -
: Usa identidade trigonométrica . -
: Similar à anterior, usando . -
: Integração direta. -
: Essa integral é mais complexa e pode exigir métodos numéricos ou substituições avançadas, mas para fins de cálculo podemos considerar uma aproximação ou uma função especial.
Passo 11
Calculando cada parte:
-
-
-
-
-
-
: Essa integral não possui uma antiderivada elementar, então vamos mantê-la como está ou aproximar numericamente.
Passo 12
Somando todas as partes:
A integral restante pode ser resolvida numericamente ou reconhecida como parte de uma função especial, mas para este exercício vamos considerar que ela contribui com um valor adicional que pode ser calculado se necessário.
Resposta
A integral do campo vetorial ao longo da curva é igual a
mais a integral
. Para um valor numérico completo, a última integral pode ser calculada aproximadamente usando métodos numéricos.