Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (x + y + z, z + x + e^(-y^2 / 2), x + y + e^(-z^2 / 2)) ao longo da curva interseção da superfície x²/4 + y²/9 + z² = 1, z ≥ 0, com o plano y = -1, orientada no sentido de crescimento de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva específica. A curva é a interseção entre a superfície (que é uma elipsoide) com o plano , e devemos considerar apenas a parte onde z ≥ 0. Além disso, a curva está orientada no sentido de crescimento de x. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois calcular a integral de linha usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a elipsoide e o plano . Substituindo na equação da elipsoide:
Simplificando:
Isso descreve uma elipse no plano com semi-eixos de comprimentos em x e em z.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa elipse. Uma parametrização comum para uma elipse é:
Onde a e b são os comprimentos dos semi-eixos. No nosso caso, e . Portanto, a parametrização fica:
O parâmetro theta varia de 0 a para percorrer toda a elipse. Porém, como a curva está orientada no sentido de crescimento de x, consideraremos theta de 0 a pi, percorrendo do ponto onde x é máximo até onde x é mínimo, mas mantendo z ≥ 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular os diferenciais , e :

Passo 5

Em seguida, substituímos as parametrizações de x, y e z na expressão do campo vetorial F:
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando, já que o termo com zera:

Passo 7

Vamos expandir os produtos:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 8

Somando os dois termos:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos de a :

Passo 10

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. : Podemos usar substituição , .
  2. : Integra direta.
  3. : Usa identidade trigonométrica .
  4. : Similar à anterior, usando .
  5. : Integração direta.
  6. : Essa integral é mais complexa e pode exigir métodos numéricos ou substituições avançadas, mas para fins de cálculo podemos considerar uma aproximação ou uma função especial.

Passo 11

Calculando cada parte:
  1. : Essa integral não possui uma antiderivada elementar, então vamos mantê-la como está ou aproximar numericamente.

Passo 12

Somando todas as partes:
A integral restante pode ser resolvida numericamente ou reconhecida como parte de uma função especial, mas para este exercício vamos considerar que ela contribui com um valor adicional que pode ser calculado se necessário.

Resposta

A integral do campo vetorial ao longo da curva é igual a mais a integral . Para um valor numérico completo, a última integral pode ser calculada aproximadamente usando métodos numéricos.

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