Seja o campo vetorial F = (3yz^2 - 2xe^z) i + (3xz^2 + cos(y)) j + (6xyz - x^2 e^z) k F é conservativo? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o campo vetorial F = (3yz^2 - 2xe^z) i + (3xz^2 + cos(y)) j + (6xyz - x^2 e^z) k é conservativo. Vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional. Precisaremos verificar se o rotacional de F é zero.

Passo 2

Para determinar se o campo vetorial F é conservativo, precisamos calcular o rotacional de F, denotado por nabla vezes F. Se o rotacional for zero, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos lembrar que o rotacional de é dado por:

Passo 4

Identificando as componentes de F:

Passo 5

Vamos calcular cada termo do rotacional:

Passo 6

Substituindo os valores no rotacional:

Resposta

Sim, o campo vetorial F é conservativo porque o seu rotacional é igual a zero.

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