Calcule a integral dada fazendo uma mudança para coordenadas polares.
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d A, em que D é a região limitada pelo semicírculo x=\sqrt{4-y^{2}} e o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA
em que D é o semicírculo de raio 2 situado à direita do eixo y, ou seja, a parte do disco x^{2}+y^{2}\le4 com x\ge0. Vamos usar mudança para coordenadas polares, onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área vira dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares o integrando fica e^{-r^{2}} e a região D é dada por
0\le r\le2,\quad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},
pois x\ge0 implica \cos\theta\ge0. Logo a integral torna-se
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para a integral interna em r fazemos a substituição u=r^{2}, du=2r\,dr, de modo que
\int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\,r\,dr =\frac{1}{2}\int_{u=0}^{4} e^{-u}\,du =\frac{1}{2}\bigl[ -e^{-u}\bigr]_{0}^{4} =\frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Passo 4

Fica então
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\,d\theta =\frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\cdot\Bigl(\theta\Bigr)_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\cdot\pi.

Resposta

\frac{\pi}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)

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