Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de
ordem da forma
onde
é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se
, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que
é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança
transforma (B) na equação linear
Use esse método para resolver as seguintes equações:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli de
ordem
que pode ser escrita na forma padrão
identificando
,
e
. Vamos aplicar a mudança de variável
para transformar em equação linear.
Passo 2
Calculemos
em função de
e
:
Como da equação original temos
substituímos em
:
Mas
, logo
Passo 3
Reescrevemos
como uma equação linear padrão:
Aqui o coeficiente de
é
e o termo não homogêneo é
.
Passo 4
Resolvemos usando fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
:
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 5
Voltando à variável
, temos
Resposta
onde
é constante arbitrária.