Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} x e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx
Esse tipo de integral envolvendo o produto de um polinômio por exponencial é resolvido com integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes:
u = x\quad e\quad dv = e^{2x},dx.
Então
du = dx
e para encontrar v, integramos dv:
v = \int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{e^{2x}}{2} + C = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1:
\left[\frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4}\right]_{0}^{1} = \Bigl(\frac{1\cdot e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4}\Bigr) - \Bigl(\frac{0\cdot e^{0}}{2} - \frac{e^{0}}{4}\Bigr) = \Bigl(\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4}\Bigr) - \Bigl(0 - \frac{1}{4}\Bigr) = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2} + 1}{4}.

Resposta

\frac{e^{2} + 1}{4}

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