Calcule a integral indefinida:
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de substituição simples, pois há x no numerador e uma função de x^{2}+1 no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 1.
Dessa forma,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3}}\;\bigl(x\,dx\bigr) = \int \frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{4}\,u^{-2}+C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x^{2}+1, logo
-\frac{1}{4}\,u^{-2}+C = -\frac{1}{4}\,\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-2}+C.

Resposta

-\frac{1}{4\,(x^{2}+1)^{2}} + C

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