Calcule a integral definida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
. O conteúdo é técnica de integração por substituição e vamos precisar reconhecer uma derivada direta no numerador.
Passo 2
Vamos usar a substituição
. Como
, garantimos que o numerador
vire exatamente
, transformando nossa integral em uma forma mais simples.
Passo 3
Agora ajustamos os limites de integração. Quando
, temos
. Quando
, fica
. Assim a integral em
se converte em uma integral em
de
até
.
Passo 4
A integral original vira
Essa é uma integral padrão cuja primitiva é o logaritmo natural:
.
Passo 5
Aplicando os limites, obtemos
Agora basta simplificar:
Primeiro, note que , então
. E
. Subtraindo,
Primeiro, note que
Passo 6
Portanto, o valor da integral definida é
.