Calcule a integral definida
integral1^2 e^x d xe^x+e

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^2 e^xe^x+e,dx. O conteúdo é técnica de integração por substituição e vamos precisar reconhecer uma derivada direta no numerador.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = e^x + e. Como du = e^x,dx, garantimos que o numerador e^x,dx vire exatamente du, transformando nossa integral em uma forma mais simples.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração. Quando x=1, temos u = e^1 + e = 2e. Quando x=2, fica u = e^2 + e. Assim a integral em x se converte em uma integral em u de u=2e até u=e^2+e.

Passo 4

A integral original vira integral1^2 e^xe^x+e,dx = integral2e^e^2+e 1u,du Essa é uma integral padrão cuja primitiva é o logaritmo natural: integral 1u,du = ln|u| + C.

Passo 5

Aplicando os limites, obtemos l[ln|u|r]2e^e^2+e = ln(e^2+e) - ln(2e) Agora basta simplificar:
Primeiro, note que e^2+e = e(e+1), então ln(e^2+e) = ln e + ln(e+1) = 1 + ln(e+1). E ln(2e) = ln2 + ln e = ln2 + 1. Subtraindo,
(1 + ln(e+1)) - (ln2 + 1) = ln(e+1) - ln2 = lnl(e+12r)

Passo 6

Portanto, o valor da integral definida é lnl(e+12r).

Resposta

lnl(tfrace+12r)

Exercícios relacionados