(2,0) Calcule a integral definida integralpi6^5 pi6 x cos (x) d x.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida . Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais, mais especificamente, integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(x) dx Rightarrow v = sin(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cos(x) dx = x sin(x) - integral sin(x) dx

Passo 5

Vamos calcular a integral restante:
integral sin(x) dx = -cos(x) + C
Portanto:
integral x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de [ x sin(x) + cos(x) ]pi6^5pi6 = ( 5pi6 sin(5pi6) + cos(5pi6) ) - ( pi6 sin(pi6) + cos(pi6) ) a :

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
sin(5pi6) = 12, cos(5pi6) = -raiz32
sin(pi6) = 12, cos(pi6) = raiz32
Substituindo:
( 5pi6 cdot 12 - raiz32 ) - ( pi6 cdot 12 + raiz32 )

Passo 8

Simplificando as operações:
5pi12 - raiz32 - pi12 - raiz32 = ( 5pi12 - pi12 ) - ( raiz32 + raiz32 ) = 4pi12 - raiz3 = pi3 - raiz3

Resposta

A integral definida é igual a .

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