Calcule a integral dupla:
onde:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - A região
é um produto de intervalos em e : e . - O integrando depende apenas de
, não de .
Passo 2
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada (teorema de Fubini): como
é contínua em um retângulo, vale
Aplicando isso ao nosso integrando,
Explicação didática rápida: como a região é um retângulo, podemos integrar primeiro em
(fixando
) e depois em
. Isso simplifica muito quando a função não depende de
.
Passo 3
Calculo da integral interna em
. Como a função
não depende de
, a integral em
é simplesmente a função multiplicada pelo comprimento do intervalo em
:
Comentário: integrar em
é como somar a mesma quantidade ao longo de um segmento de comprimento
.
Passo 4
Substituindo o resultado na integral em
, obtemos uma integral de uma variável:
Agora precisamos calcular a integral
Passo 5
Identificação de uma substituição conveniente. Note que a derivada de
é
. Isso sugere a substituição por
:
Então
Isto significa que o fator
no integrando se transforma diretamente em
, tornando a integral imediata. Ajuste dos limites de integração: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Explicação didática: essa técnica chama-se mudança de variável (ou substituição). A ideia é reconhecer no integrando uma função e sua derivada, transformando a integral numa integral simples em
.
Passo 6
Calcule a integral em
:
Voltando ao fator
que estava fora, obtemos o valor final da integral dupla:
Pequena motivação final: reconhecer derivadas dentro do integrando é uma ótima heurística para escolher substituições rápidas na prova — aqui foi exatamente o que salvou tempo.