Calcule a integral dupla:
\iint_{R}(2 x+1) \cos \left(x^{2}+x\right) d A
onde:
R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 3\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R}(2 x+1) \cos \left(x^{2}+x\right)\, dA
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 3\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é f(x,y)=(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big).
  • A região R é um produto de intervalos em x e y: x\in[0,1] e y\in[0,3].
  • O integrando depende apenas de x, não de y.

Passo 2

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada (teorema de Fubini): como f é contínua em um retângulo, vale
\iint_{R} f(x,y)\, dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{3} f(x,y)\, dy\right)dx.
Aplicando isso ao nosso integrando,
\iint_{R}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dA=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{3}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dy\right)dx.
Explicação didática rápida: como a região é um retângulo, podemos integrar primeiro em y (fixando x) e depois em x. Isso simplifica muito quando a função não depende de y.

Passo 3

Calculo da integral interna em y. Como a função (2x+1)\cos(x^{2}+x) não depende de y, a integral em y é simplesmente a função multiplicada pelo comprimento do intervalo em y:
\int_{0}^{3}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dy=(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\cdot\big[y\big]_{0}^{3}=3(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big).
Comentário: integrar em y é como somar a mesma quantidade ao longo de um segmento de comprimento 3.

Passo 4

Substituindo o resultado na integral em x, obtemos uma integral de uma variável:
\iint_{R}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dA= \int_{0}^{1} 3(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dx = 3\int_{0}^{1}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dx.
Agora precisamos calcular a integral
\int_{0}^{1}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dx.

Passo 5

Identificação de uma substituição conveniente. Note que a derivada de x^{2}+x é 2x+1. Isso sugere a substituição por u:
u = x^{2}+x.
Então
du = (2x+1)\, dx.
Isto significa que o fator (2x+1)\,dx no integrando se transforma diretamente em du, tornando a integral imediata. Ajuste dos limites de integração: quando x=0 temos u=0^{2}+0=0; quando x=1 temos u=1^{2}+1=2. Assim
\int_{0}^{1}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dx = \int_{u=0}^{2}\cos(u)\, du.
Explicação didática: essa técnica chama-se mudança de variável (ou substituição). A ideia é reconhecer no integrando uma função e sua derivada, transformando a integral numa integral simples em u.

Passo 6

Calcule a integral em u:
\int_{0}^{2}\cos(u)\, du = \big[\sin(u)\big]_{0}^{2} = \sin(2)-\sin(0)=\sin(2)-0=\sin(2).
Voltando ao fator 3 que estava fora, obtemos o valor final da integral dupla:
\iint_{R}(2x+1)\cos\big(x^{2}+x\big)\, dA = 3\cdot \sin(2).
Pequena motivação final: reconhecer derivadas dentro do integrando é uma ótima heurística para escolher substituições rápidas na prova — aqui foi exatamente o que salvou tempo.

Resposta

3\sin(2)

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