Calcule a integral dupla.
\iint \frac{y}{2} d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq \sqrt{x}\}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y}{2}\,dA,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 4,\;0\le y\le \sqrt{x}\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{y}{2}.
  • A região D é descrita por x variando de 0 a 4 e, para cada x fixo, y variando de 0 a \sqrt{x}.
  • O objetivo é obter um número (o valor da integral).

Passo 2

Ideia para resolver (descrição do processo matemático a aplicar, sem yet calcular): como a região D está descrita por faixas em x e, para cada x, um intervalo em y, podemos aplicar a forma iterada da integral dupla (teorema de Fubini para regiões simples). Assim escrevemos a integral como integral iterada, integrando primeiro em y e depois em x:
\iint_{D}\frac{y}{2}\,dA=\int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}}\frac{y}{2}\,dy\right)dx.
Explicação didática rápida: isso significa que para cada valor fixo de x entre 0 e 4 soma-se (integra-se) o contributo \dfrac{y}{2} ao longo de y de 0 até \sqrt{x}, e depois soma-se tudo em x.

Passo 3

Calcular a integral interior em y. Pegamos
\int_{y=0}^{\sqrt{x}}\frac{y}{2}\,dy.
Para integrar \dfrac{y}{2} em relação a y, usamos a regra básica \int y\,dy=\dfrac{y^2}{2}. Assim,
\int \frac{y}{2}\,dy=\frac{1}{2}\int y\,dy=\frac{1}{2}\cdot\frac{y^2}{2}=\frac{y^2}{4}.
Agora avaliamos nos limites y=0 e y=\sqrt{x}:
\left.\frac{y^2}{4}\right|_{0}^{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x})^2}{4}-\frac{0^2}{4}=\frac{x}{4}.
Portanto a integral interna vale \dfrac{x}{4}.

Passo 4

Substituir o resultado da integral interna na integral externa e calcular:
\int_{x=0}^{4}\frac{x}{4}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{4}x\,dx.
Usando \int x\,dx=\dfrac{x^2}{2}, temos
\frac{1}{4}\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4^2}{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{2}=\frac{1}{4}\cdot 8=2.

Passo 5

Verificação alternativa trocando a ordem de integração (checa que não houve erro): descrever a região por faixas em y. A curva y=\sqrt{x} é equivalente a x=y^2. Como x vai até 4, y vai de 0 a 2. Para cada y fixo, x vai de y^2 até 4. Assim
\iint_{D}\frac{y}{2}\,dA=\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=y^2}^{4}\frac{y}{2}\,dx\right)dy.
A integral interna em x é simples (tratando y como constante):
\int_{x=y^2}^{4}\frac{y}{2}\,dx=\frac{y}{2}(4-y^2).
Agora integrar em y:
\int_{0}^{2}\frac{y}{2}(4-y^2)\,dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(4y-y^3)\,dy=\frac{1}{2}\left[2y^2-\frac{y^4}{4}\right]_{0}^{2}.
Avalia:
\frac{1}{2}\left(2\cdot 2^2-\frac{2^4}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(2\cdot 4-\frac{16}{4}\right)=\frac{1}{2}(8-4)=\frac{1}{2}\cdot 4=2.
Resultado coincide com o cálculo anterior, confirma que está correto.

Resposta

2

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