Calcule a integral dupla. \iint \frac{y}{2} d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq \sqrt{x}\}
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y}{2}\,dA,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 4,\;0\le y\le \sqrt{x}\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O integrando é \dfrac{y}{2}.
A região D é descrita por x variando de 0 a 4 e, para cada x fixo, y variando de 0 a \sqrt{x}.
O objetivo é obter um número (o valor da integral).
Passo 2
Ideia para resolver (descrição do processo matemático a aplicar, sem yet calcular): como a região D está descrita por faixas em x e, para cada x, um intervalo em y, podemos aplicar a forma iterada da integral dupla (teorema de Fubini para regiões simples). Assim escrevemos a integral como integral iterada, integrando primeiro em y e depois em x:
Explicação didática rápida: isso significa que para cada valor fixo de x entre 0 e 4 soma-se (integra-se) o contributo \dfrac{y}{2} ao longo de y de 0 até \sqrt{x}, e depois soma-se tudo em x.
Passo 3
Calcular a integral interior em y. Pegamos
\int_{y=0}^{\sqrt{x}}\frac{y}{2}\,dy.
Para integrar \dfrac{y}{2} em relação a y, usamos a regra básica \int y\,dy=\dfrac{y^2}{2}. Assim,
Verificação alternativa trocando a ordem de integração (checa que não houve erro): descrever a região por faixas em y. A curva y=\sqrt{x} é equivalente a x=y^2. Como x vai até 4, y vai de 0 a 2. Para cada y fixo, x vai de y^2 até 4. Assim