Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razāo disto.
f(x)= \begin{cases}2 & \text { se } x<-2 \\\ \sqrt{4-x^{2}} & \text { se }-2 \leqslant x \leqslant 2 \\\\ -2 & \text { se } 2<x\end{cases}
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2 & \text{se } x<-2,\\[4pt] \sqrt{4-x^{2}} & \text{se } -2\le x\le 2,\\[4pt] -2 & \text{se } x>2, \end{cases}
e pede o limite \lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x>2 vale f(x)=-2.
  • Para x=2 (pela definição do pedaço do meio) vale
f(2)=\sqrt{4-2^{2}}=\sqrt{0}=0.
  • Para x<2 próximo de 2 (ou seja, aproximando por x\to2^{-}) a expressão útil é f(x)=\sqrt{4-x^{2}}.]

Passo 2

O que significa \lim_{x\to 2^{+}} f(x)?
  • É o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 vindo da direita, ou seja, com x>2 e x tendendo a 2.
  • Para limites unilaterais em funções definidas por partes, deve-se usar a fórmula que vale na vizinhança do ponto pelo lado indicado. Aqui, para x imediatamente maiores que 2 a definição da função é a terceira linha: f(x)=-2.

Passo 3

Avaliar a função para x>2:
  • Para todo x com x>2 temos f(x)=-2. Isso significa que, na vizinhança direita de 2, f é constante com valor -2.

Passo 4

Usar a propriedade de limites de funções constantes:
  • Teorema simples: se g(x)=c é constante numa vizinhança direita de a, então \lim_{x\to a^{+}} g(x)=c.
  • Aplicando aqui, com g(x)=f(x) para x>2 e c=-2, obtemos
\lim_{x\to 2^{+}} f(x) = -2.

Passo 5

Contexto adicional (útil para a prova): comparar com o limite pela esquerda e o valor no ponto.
  • Pelo lado esquerdo, usando f(x)=\sqrt{4-x^{2}} para -2\le x\le2, tem-se
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\sqrt{4-2^{2}}=0.
  • O valor no ponto é f(2)=0. Como \lim_{x\to2^{-}} f(x)=0 e \lim_{x\to2^{+}} f(x)=-2 são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to2} f(x) não existe (salto). Mas isso não muda a resposta do limite pela direita, que já foi encontrado.

Resposta

-2

Exercícios relacionados