Calcule a integral dupla \int_{0}^{\pi} \int_{x}^{\pi} \frac{\cos (y)}{y} d y d x
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\pi}\int_{x}^{\pi}\frac{\cos(y)}{y}\,dy\,dx.
O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas (Teorema de Fubini) e depois cálculo de integrais simples.

Passo 2

Descrevemos a região de integração no plano (x,y):
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \pi,\;x\le y\le \pi\}.
Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem a fim de integrar primeiro em x.

Passo 3

Invertendo a ordem, y percorre de 0 a \pi e, para cada y, x vai de 0 até y. Logo
\int_{0}^{\pi}\int_{x}^{\pi}\frac{\cos(y)}{y}\,dy\,dx =\int_{y=0}^{\pi}\int_{x=0}^{y}\frac{\cos(y)}{y}\,dx\,dy.

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
\int_{x=0}^{y}dx = y.
Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi}y\;\frac{\cos(y)}{y}\,dy =\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy.

Passo 5

Basta agora avaliar
\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy = \sin(y)\big|_{0}^{\pi} =\sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0.

Resposta

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