Calcule a integral dupla \int_{0}^{1} \int_{y}^{1} 2 e^{x^{2}} d x d y
2 e-1
e-1
e
1
2 e

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}2e^{x^{2}}\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é integração iterada e troca de ordem de integração, além de usar substituição simples para resolver a integral resultante.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração no plano (x,y):
0<= y <=1 e y ≤ x <=1. Se invertermos a ordem de integração, x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a x. Logo
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}2e^{x^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}2e^{x^{2}}\,dy\,dx.

Passo 3

Na integral interna em y a função 2e^{x^{2}} é constante em relação a y. Então
\int_{0}^{x}2e^{x^{2}}\,dy =2e^{x^{2}}\int_{0}^{x}dy =2x\,e^{x^{2}}.
Assim a integral vira
\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para resolver \displaystyle\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx, usamos a substituição \displaystyle u=x^{2}, de modo que du=2x\,dx. Os limites vão de u(0)=0 até u(1)=1. A integral fica
\int_{u=0}^{1}e^{u}\,du =e^{u}\Big|_{0}^{1} =e^{1}-e^{0} =e-1.

Resposta

e-1

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