Calcule a integral dupla
integral duplaD x y d A
onde a região D é limitada por curvas y=0 e y=-x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral dupla integral duplaD x y , dA, onde a região D é limitada pelas curvas y=0 e y=-x^2+1. O conteúdo da matéria é integração dupla e vamos usar a troca pra integral iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro desenhamos ou imaginamos a região D: a curva y=-x^2+1 intersecta y=0 quando -x^2+1=0, ou seja x=pm1. Então D=(x,y):-1<= x<=1,;0<= y<=1-x^2.

Passo 3

Agora escrevemos a integral dupla como iterada:
integral duplaD x y , dA = integralx=-1^1 gl( integraly=0^1-x^2 x y , dy gr) dx

Passo 4

No interior, x é constante em relação a y. Calculamos
integraly=0^1-x^2 x y , dy = x integral0^1-x^2 y , dy = x [ y^22 ]0^1-x^2 = x2(1-x^2)^2

Passo 5

Então a integral passa a ser
integral-1^1 x2(1-x^2)^2 , dx

Passo 6

Observe que a função f(x)=x(1-x^2)^2 é ímpar, pois f(-x)=-f(x). Como os limites são simétricos de -1 a 1, a integral de uma função ímpar sobre esse intervalo é zero.
Portanto, o valor da integral dupla é zero.

Resposta

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