Esboce a região de integração e munde a ordem de integração.
integral0^1(integral0^y f(x, y) d x) d y+integral1^raiz2(integral0^raiz2-y^2 f(x, y) d x) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é esboçar a região onde vamos integrar e, depois, mudar a ordem de integração dessa integral dupla. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas e de como visualizar regiões no plano xy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
integral0^1(integral0^y f(x, y) , dx) dy + integral1^raiz2(integral0^raiz2-y^2 f(x, y) , dx) dy
Isso significa que temos duas partes:
  1. Para y de 0 a 1, x varia de 0 a y.
  2. Para y de 1 a raiz2, x varia de 0 a raiz2 - y^2.
Se a gente desenhar isso no plano xy, vai ver que a primeira parte é um triângulo entre y=0 e y=1, onde x vai de 0 até a linha x=y. A segunda parte é uma porção de um círculo de raio raiz2, já que x = raiz2 - y^2 descreve parte de um círculo centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos mudar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Para isso, observamos como x varia:
  • x vai de 0 até 1, porque no triângulo x <= y <= 1.
  • Para cada x, y começa em x e vai até raiz2 - x^2.
Então, a nova ordem de integração fica:
integral0^1(integralx^raiz2 - x^2 f(x, y) , dy) dx

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada é:
integral0^1(integralx^raiz2 - x^2 f(x, y) , dy) dx

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