Esboce a região de integração e munde a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é esboçar a região onde vamos integrar e, depois, mudar a ordem de integração dessa integral dupla. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas e de como visualizar regiões no plano xy.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
Isso significa que temos duas partes:
- Para
de 0 a 1, varia de 0 a . - Para
de 1 a , varia de 0 a .
Se a gente desenhar isso no plano xy, vai ver que a primeira parte é um triângulo entre
e
, onde
vai de 0 até a linha
. A segunda parte é uma porção de um círculo de raio
, já que
descreve parte de um círculo centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos mudar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, observamos como
varia:
-
vai de 0 até 1, porque no triângulo . - Para cada
, começa em e vai até .
Então, a nova ordem de integração fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada é: