Calcule a integral dupla
integralR integral x^2 y d A
onde R é a região do 10 quadrante do plano Cartesiano delimitada pelas circunferências x^2+y^2=4 e(x-1)^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular uma integral dupla, que é tipo somar valores de uma função em uma região específica do plano. A função que a gente vai integrar aqui é $ x^{2} y $, e a região $ R $ está no primeiro quadrante do plano Cartesiano, limitadinha pelas circunferências $ x^{2} + y^{2} = 4 $ e $ (x - 1)^{2} + y^{2} = 1 $. Vamos precisar usar cálculo integral, especialmente em coordenadas polares, porque as regiões são circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região $ R $. Temos duas circunferências:
  1. $ x^{2} + y^{2} = 4 $ é uma circunferência com centro na origem e raio 2.
  2. $ (x - 1)^{2} + y^{2} = 1 $ é uma circunferência com centro em (1,0) e raio 1.
Essas duas circunferências se intersectam no primeiro quadrante, formando a região limitada que queremos integrar.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. A área diferencial $ dA $ em coordenadas polares é $ r , dr , d\theta $.

Passo 4

Vamos reescrever as equações das circunferências em coordenadas polares:
  1. $ x^{2} + y^{2} = 4 $ se torna $ r^{2} = 4 $, então $ r = 2 $.
  2. $ (x - 1)^{2} + y^{2} = 1 $ se torna $ (r \cos\theta - 1)^{2} + (r \sin\theta)^{2} = 1 $. Simplificando: x^2 + y^2 = 4 r^2 = 4 r = 2 Então, $ r = 0 $ ou $ r = 2 \cos\theta $. Como estamos no primeiro quadrante, $ \cos\theta $ é positivo, então $ r $ varia de $ 2 \cos\theta $ a 2.

Passo 5

Agora, determinamos os limites de integração para $ \theta $. No primeiro quadrante, $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 6

Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral2 costheta^2 (x^2 y) , r , dr , dtheta
Lembrando que $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $, então $ x^{2} y = (r \cos\theta)^{2} (r \sin\theta) = r^{3} \cos^{2}\theta \sin\theta $.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^pi2 integral2 costheta^2 r^3 cos^2theta sintheta cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral2 costheta^2 r^4 cos^2theta sintheta , dr , dtheta

Passo 8

Vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
r

Passo 9

Agora, a integral fica:
integral0^pi2 ( 325 - 32 cos^5theta5 ) cos^2theta sintheta , dtheta = 325 integral0^pi2 cos^2theta sintheta , dtheta - 325 integral0^pi2 cos^7theta sintheta , dtheta

Passo 10

Usando a substituição $ u = \cos\theta $, $ du = -\sin\theta , d\theta $, os limites mudam de $ \theta = 0 $ para $ u = 1 $ e $ \theta = \frac{\pi}{2} $ para $ u = 0 $.
Portanto:
u = costheta
e
du = -sintheta , dtheta

Passo 11

Subtraindo as duas integrais:
3215 - 45 = 3215 - 1215 = 2015 = 43

Resposta

A integral dupla vale $ \frac{4}{3} $.

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